中川宏さんのお話では大菱形１２・２０面体や小菱形１２・２０面体の木工製作はアルキメデス立体のなかでも最も神経を酷使する作業なのですが，切稜面間距離や切頂面間距離を知り厚さを目安にすることで，高精度木工のストレスはずいぶん緩和されるそうです．

　今回のコラムでは，正二十面体の１２の頂点を五角錐の高さの１／３で切り取って得られるサッカーボールや正十二面体の２０の頂点を三角錐の高さの１／２でカットして得られる１２・２０面体などの切頂面間距離を求めてみることにします．

　　　　　　　　正十二面体　　　　　　　正二十面体

辺間距離　　　　　　２　　　　　　　　　　　２

頂点間距離　　　２．１４０９３　　　　　２．３５１１４

面間距離　　　　１．７０１３　　　　　　１．８６８３７

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【１】切頂十二面体，１２・２０面体の切頂面間距離

　切頂十二面体と１２・２０面体はそれぞれ，正十二面体の２０の頂点を三角錐の高さの１／３，１／２でカットして得られます．

　　ｄ＝（３−√５）／２，Ｄ＝（−１＋√５）／２

として，頂点Ｃ（−ｄ，０，１），Ｅ（Ｄ，Ｄ，Ｄ），Ｆ（Ｄ，−Ｄ，Ｄ）を底面とし，もう一つの頂点をＤ（ｄ，０，１）とする三角錐に注目します．

　底面の重心は（（−ｄ＋２Ｄ）／３，０，（１＋２Ｄ）／３）にありますから，切頂面の重心は（ｄ，０，１）と（（−ｄ＋２Ｄ）／３，０，（１＋２Ｄ）／３）をｔ：１−ｔに内分する位置

　　（（１−ｔ）ｄ＋ｔ（−ｄ＋２Ｄ）／３，０，（１−ｔ）＋ｔ（１＋２Ｄ）／３）

にあります．　

　切頂面間距離はこの点と中心（０，０，０）間距離の２倍で与えられますから

　　　　　　　　　　切頂面間距離

切頂十二面体　　　　１．９５９２１　　（ｔ＝１／３）

１２・２０面体　　　１．８６８３４　　（ｔ＝１／２）

になります．

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【２】切頂二十面体の切頂面間距離

　切頂二十面体は正二十面体の１２の頂点を五角錐の高さの１／３で切り取って得られるサッカーボールです．

　　ｄ＝（−１＋√５）／２

として，（０，１，ｄ），（−ｄ，０，１），（０，−１，ｄ），（１，−ｄ，０），（１，ｄ，０）を底面とし，もう一つの頂点を（ｄ，０，１）とする五角錐に注目します．

　底面の重心は（（２−ｄ）／５，０，（１＋２ｄ）／５）にありますから，切頂面の重心は（ｄ，０，１）と（（２−ｄ）／５，０，（１＋２ｄ）／５）をｔ：１−ｔに内分する位置

　　（（１−ｔ）ｄ＋ｔ（２−ｄ）／５，０，（１−ｔ）＋ｔ（１＋２ｄ）／５）

にあります．　

　切頂面間距離はこの点と中心（０，０，０）間距離の２倍で与えられますから

　　　　　　　　　　切頂面間距離

切頂二十面体　　　　１．９１７９１　　（ｔ＝１／３）

になります．

　サッカーボールでは正六角形面間距離１．８６８３７よりも，正五角形面間距離１．９１７９１の方が大きいというわけです．

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【３】訂正とお詫び

　切頂操作により

　　立方体←→切頂立方体←→立方八面体←→切頂八面体←→正八面体

と連続的に変形させると，外接球を有するという条件を保持したまま遷移していくわけですから，その中間段階で外接球・内接球を併せもつ多面体を見つけることができます．

　実際，このようにして発見されたのが正方形面６枚と不等辺六角形面８枚の合計１４枚の面で構から構成される「朝鮮サイコロ」であって，

　　立方体←→切頂立方体←→立方八面体←→★←→切頂八面体←→正八面体

に位置しておりました．→コラム「切頂立方体の計量」，「朝鮮サイコロ・中国サイコロの数理」参照

　　立方体←→切頂立方体←→立方八面体←→★←→切頂八面体←→正八面体

　コラム「色即是空・空即是色」において，外接球・内接球を併せもつ多面体はサッカーボールと正二十面体の間，

　　正１２面体←→切頂１２面体←→１２・２０面体←→切頂２０面体←→★←→正２０面体

に位置すると書きましたが，どうやら計算間違いがあったようです．

　今回のコラムの計算結果は

　　正１２面体←→切頂１２面体←→１２・２０面体←→★←→切頂２０面体←→正２０面体

に位置することを示しているからです．訂正ならびにお詫びさせていただきます．

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