コラム「シンク関数の数学的諸性質」ではシンク関数の積分
∫(0,∞)Πsin(x/(2k+1))/(x/(2k+1))dx=π/2 k=0~6
∫(0,∞)sin^k(ax)/x^kdx=a^(n-1)π/2-a^(n-1)π/(m-1)!2^(n-1)Σ(-1)^(r-1)(n-1,r-1)(n-2r)^(n-1)
について調べてみた．とくに，
∫(0,∞)Πsin(x/(2k+1))/(x/(2k+1))dx=π/2 k=0~6
では，非常におもしろい現象が起こっていることについて述べた．
∫(0,∞)sincxsinc(x/3)dx=π/2
∫(0,∞)sincxsinc(x/3)sinc(x/5)dx=π/2
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∫(0,∞)sincxsinc(x/3)sinc(x/5)･･･sinc(x/13)dx=π/2
が成り立ち，これらは一般に
∫(0,∞)Πsinc(kx)dx=π/2
と書くことができる．Mathematicaを用いて計算してみても，
∫(0,∞)Πsinc(kx)dx,
k=1/(2i+1),i=0~
において，ｉ≦６でπ/2となる．
ところが，ｉ＝７のとき，
∫(0,∞)sincxsinc(x/3)sinc(x/5)･･･sinc(x/13)sinc(x/15)dx=R*π
R=467807924713440738696537864469/935615849440640907310521750000
=0.499999999992646･･･
となって，π/2とはならないのである．
さらに検証してみると，ｉ≧７で右辺はπ/2にはならず，ｉ＝８では，
∫(0,∞)sincxsinc(x/3)sinc(x/5)･･･sinc(x/15)sinc(x/17)dx=R*π
R=17708695183056190642497315530628422295569865119/354173907883011952948983529875210935040000000
ｉ≧９でも同様に，有理数ではあるが簡単なものにはならなかった．
次に，係数を変えて
∫(0,∞)Πsinc(kx)dx,
k=1/(3i+1),i=0~
を計算してみた結果，ｉ≦１０でπ/2となった．
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【１】∫(0,∞)Πsin(x/k)/(x/k)dx=?
（その１）では奇数係数だけを扱ったが，整数係数の場合について，阪本ひろむ氏＆Mathematicaに調べてもらった．
∫(0,∞)sinx/xdx=π/2
∫(0,∞)sincxsinc(x/2)dx=π/2
∫(0,∞)sincxsinc(x/2)sinc(x/3)dx=π/2
∫(0,∞)sincxsinc(x/2)sinc(x/3)sinc(x/4)dx=1727π/3456
∫(0,∞)sincxsinc(x/2)sinc(x/3)･･･sinc(x/5)dx=20652479π/41472000
∫(0,∞)sincxsinc(x/2)sinc(x/3)･･･sinc(x/7)dx=24860948333867803π/50185433088000000
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［参］David Borwein,Johnathan M. Borwein: Some remarkable properties of sinc and related integrals; The Ramanujan Journal, in press. CECM preprint 99,142 (available from http://www.cecm.sfu.ca/preprints)
によると
∫(0,∞)Πsinc(kx)dx
は，Σｋ＜２のときπ/2となるということである．
すなわち，k=1/(2i+1)の場合，第６項までだと
1+1/3+･･･+1/13<2
だが，第７項まででは
1+1/3+･･･+1/13+1/15>2
また，k=1/(3i+1)の場合，第１０項まで計算しても
1+1/4+･･･+1/28+1/31<2
なのである．
整数係数の場合，第３項までだと
1+1/2+1/3<2
だが，第４項になると
1+1/2+1/3+1/4>2
なのである．
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【２】∫(0,∞)Πsin(x/2k)/(x/2k)dx=?
偶数係数の場合は
∫(0,∞)sinc(x/2)=π
∫(0,∞)sinc(x/2)sinc(x/4)dx=π
∫(0,∞)sinc(x/2)sinc(x/4)sinc(x/6)dx=π
∫(0,∞)sinc(x/2)sinc(x/4)sinc(x/6)sinc(x/8)dx=1727π/1728
∫(0,∞)sinc(x/2)sinc(x/4)sinc(x/6)･･･sinc(x/10)dx=20652479π/2073600
∫(0,∞)sinc(x/2)sinc(x/4)sinc(x/6)･･･sinc(x/12)dx=24860948333867803π/2073600000
置換積分により
∫(0,∞)Πsin(x/2k)/(x/2k)dx=2∫(0,∞)Πsin(x/k)/(x/k)dx
すなわち，本質的に同じ積分となる．
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