■kissing numberの公式

 ここでは格子状最密球充填に関するkissing numberの公式を紹介します.

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 n次元球のkissing numberの上界は立体角による評価,すなわち,正四面体配置(相互に接するよう球を配置)の問題でしたが,それに対して,下界は極大格子状配置による評価,すなわち,

  A1,A2,A3,D4,D5,E6,E7,E8

の問題となります.

 たとえば,n=3のみならず,n=4,5の場合も面心立方格子状配置

  (±1,±1,0)

  (±1,±1,0,0)

  (±1,±1,0,0,0)   (±1の個数は2つ)

では2n(n−1)個の球と接することができます.

 n=6,7,8では面心立方格子状配置の接触点以外にも隙間ができるので,隙間の分が加わって,それぞれ

  60+12=72

  84+42=126

  112+128=240

個の同じ大きさの球が詰め込み可能になります.(E6,E7,E8格子はそれぞれ接触数72,126,240を与える.)

 この隙間は,9個の整数に対して法3で合同となるので,

  x1+x2+x3=x4+x5+x6=x7+x8+x9=0  (n=6)

  x1+x2+x3+x4+x5+x6=x7+x8+x9=0  (n=7)

  x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9=0  (n=8)

であって,

  12×3=42,42×3=128

という関係にあり,E8では9個の球によって完全に充填した構造となっています.

        第1層    第2層    第3層

  E6 格子   72    270    720

  E7 格子 126    756   2072

  E8 格子 240   2160   6720

 そして,最終的には簡単なグラフ的算法に帰着されるのですが,1≦n≦8では

  n  1  2  3  4  5  6  7  8

  下界 2  6  12  24  40  72  126  240

となり,ガウス記号を用いて

  下界=n([2^(n-2)/3]+n+1)

の形にまとめられます(Muses,1963).

 この式はn>8に対しては成り立ちません.n=9のとき468となるのですが,コクセターの上界401よりも大きくなってしまうからです.

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 ガウス記号(床関数)を用いると

  下界=n([2^(n-2)/3]+n+1)

ですが,天井関数「」を用いると

  下界=n(「2^(n-2)/3」+n)

  下界=n(n+「2^n/12」)

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