■クラインの整数(その4)

 たとえば,θ=√−5は,PIDではありません.

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[1]x^2+1はガウス整数a+biを生成

[2]x^3−1はアイゼンシュタイン整数a+bωを生成

[3]x^2+5は整数a+b√−5を生成する.

 p=x^2+5y^2の場合は微妙だが,決定的な違いがある.

  6=2・3=(1+√−5)(1−√−5)

が成り立つが,2,3,(1+√−5),(1−√−5)は単数でないZ(√−5)の元の積で表すことはできないのである.

  6=2・3=(1+√−5)(1−√−5)

  21=3・7=(1+2√−5)(1−2√−5)

 Q(√−5)の類数は2.d=5はQ(√−d)の類数が2である最小のd.

 ユークリッドのアルゴリズムがうまくいくのは,一意分解が存在するのであるがQ(√−5)の場合,それが存在しないのである.

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