■基本単体の二面角(その35)

 (その30)の分類定理の続き.

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[1]=を含むのは,Bk(k≧2),F4だけである.

  ・−・−・・・−・=・−・・・−・−・

  ε1 ε2     εp ηq     η2 η1

 

  ε=Σiεi,η=Σiηi

  |ε|^2=Σi^2−Σi(i+1)=p(p+1)/2

  |η|^2=Σi^2−Σi(i+1)=q(q+1)/2

  <ε,η>=−pq/√2

  <ε,η>^2≦|ε|^2|η|^2

より,

  (p−1)(q−1)<2

  p=1またはq=1→Bk(k≧2) 

  p=q=2→F4

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[2]分岐点を含み,−のみからなるのは,Dk(k≧4),E6,E7,E8だけである.

            φ

  ・−・−・・・−・−・−・−・・・−・−・

  ε1 ε2    εp-1 | ηq-1    η2 η1

            ・ζr-1

            |

            ・

            ・

            |

            ・ζ1

  |ε|^2=Σi^2−Σi(i+1)=p(p−1)/2

  |η|^2=Σi^2−Σi(i+1)=q(q−1)/2

  |ζ|^2=Σi^2−Σi(i+1)=r(r−1)/2

  <ε,φ>=−(p−1)/2

  c1^2=<ε,φ>^2/|ε|^2=1/2・(1−1/p)

  c1^2+c2^2+c3^2<1

より

  1/p+1/q+1/r>1

  p≧q≧r≧2

とすれば,

  r=2

  q=2,pは無条件→Dk(k≧4)

  q=3,p=3,4,5→E6,E7,E8

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