（その２）において，凧型２４面体の黄金化多面体が閉じるとしたらそれは紙模型の工作誤差と思われると書いたところ，金原博昭さんより疑義のメールを頂いた．実際に作った紙模型をみると工作誤差によってこの模型が閉じたとは思えないというのである．

　金原さんから凧型２４面体の黄金化多面体の紙模型を送っていただき，実際に手にとって観察してみたところ，凧型２４面体の黄金化多面体は正八面体に近い形で，私が固定点と考えた頂点が動いていることがわかった．紙模型は中空ですからこのようなことが起こりうるのだと思われる．

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【１】閉じた多面体になるための条件

　（その２）では，凧型２４面体の黄金化多面体が閉じた多面体になるための条件は，４つの頂点の座標が

　　Ａ（０，０，７−４√２）

　　Ｂ（（−８＋７√２）ｋ／２，０，（−８＋７√２）ｋ／２）

　　Ｃ（０，（−８＋７√２）ｋ／２，（−８＋７√２）ｋ／２）

　　Ｄ（（−９＋１０√２）／７，（−９＋１０√２）／７，（−９＋１０√２）／７）

になると書いた．

　しかし，３価の頂点となる点Ｄは固定点でなく，自由点になるものとして再考してみたい．すなわち，

　　Ａ（０，０，７−４√２）

　　Ｂ（（−８＋７√２）ｓ／２，０，（−８＋７√２）ｓ／２）

　　Ｃ（０，（−８＋７√２）ｓ／２，（−８＋７√２）ｓ／２）

　　Ｄ（（−９＋１０√２）ｔ／７，（−９＋１０√２）ｔ／７，（−９＋１０√２）ｔ／７）

であるが，ひとつのｓの値に対してｔが自由に変化しうる２自由度系であるから，凧型面の形は自在とはいかないまでもかなり自由度が高くなる．

　変形を加える前の凧型２４面体と凧型６０面体で，諸量を比較すると

　　　　　　　　　凧型２４面体　　　　　凧型６０面体

　　ＡＢ／ＡＤ　　.853829　　　　　　　　.859571

　　∠ＢＡＤ　　　40.7895　　　　　　　　33.8915

　　二面角　　　　180　　　　　　　　　　180

となるから，凧型２４面体（緑）ではＡＢ／ＡＤ=.859571，凧型６０面体（黄）ではＡＢ／ＡＤ=.853829を保ったまま変形させて，∠ＢＡＤと二面角がどのように変化するか調べてみた．

［１］ＡＢ／ＡＤ

［２］∠ＢＡＤ

［３］二面角

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【２】計算結果

　凧型２４面体（緑），凧型６０面体（黄）のグラフを描いてみると，凧型２４面体に高度な変形加えたときだけ∠ＢＡＤ=33.8915のグラフに交点が出現することがわかります．このとき，黄金化凧型２４面体の変形パラメータはｓ=0.791696，ｔ=0.757769で，ＡＢ／ＡＤ=.859571，二面角=170.864，変形が高度なため凧型２４面体の元の形からはかなりかけ離れたものになります．

　それに対して，３価の頂点を自由点とした場合，凧型６０面体の白銀化は∠ＢＡＤ=40.7895のグラフに交点が出現しないことから不可能と考えられます．

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