■基本単体の二面角(その16)

 3次元では,α3の基本単体とβ3の基本単体でγ3を構成することができる.

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【1】正四面体

 正四面体の1/24の直角四面体で,

  P0(0,0,0)

  P1(1,0,0)

  P2(1,√(1/3),0)

  P3(1,√(1/3),1/2・√(2/3))

にとることができる.底面は(30°,60°,90°)の直角三角形である.

  cosθ=−b1^2/{b1^2}^1/2{b1^2+b2^2}^1/2=−1/2

  cosθ=−b2^2/{b1^2+b2^2}^1/2{b2^2+b3^2}^1/2=−1/2

  cosθ=−b3^2/{b2^2+b3^2}^1/2{b3^2}^1/2=−√6/3

二面角はこれらの補角をとる.

 その二面角は(90°,90°,90°,60°,60°,35.2644°)になる.→(60°,60°)→{3,3}

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【2】正八面体

 正八面体の1/48の直角四面体で,

  P0(0,0,0)

  P1(1,0,0)

  P2(1,√(1/3),0)

  P3(1,√(1/3),√(2/3))

にとることができる.底面は(30°,60°,90°)の直角三角形である.高さは正四面体の基本単体の2倍である.

  cosθ=−b1^2/{b1^2}^1/2{b1^2+b2^2}^1/2=−1/2

  cosθ=−b2^2/{b1^2+b2^2}^1/2{b2^2+b3^2}^1/2=−1/√2

  cosθ=−b3^2/{b2^2+b3^2}^1/2{b3^2}^1/2=−1/√3

二面角はこれらの補角をとる.

 その二面角は(90°,90°,90°,60°,45°,54.7656°)になる.→(60°,45°)→{3,4}

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【3】正四面体+正八面体

  cosθ4=−b3^2/{b2^2+b3^2}^1/2{b3^2}^1/2=−√6/3

  cosθ8=−b3^2/{b2^2+b3^2}^1/2{b3^2}^1/2=−1/√3

 arccos(√6/3)+arccos(√3/3)=arccos(√2/3−1/√3・√6/3)=0→直角

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