■n次元平行多面体数(その196)

 E8格子において,原点からの距離が√nの点の個数は,

  240σ3(n)  σ3(n)=nの約数の3乗和

で表されることが知られている.

  n=1 → 240・1^3=240個

  n=2 → 240・(1^3+2^3)=2160個

  n=3 → 240・(1^3+3^3)=6720個

  n=4 → 240・(1^3+2^3+4^3)=17520個

である.

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[1]240頂点とは

(±2:0,0,0,0,0,0)の置換16

(±1:0,0,0,±1,±1,0,±1)の巡回置換112

(0:±1,±1,±1,0,0,±1,0)の巡回置換112

[2]2160点とは

(±2:±2,0,0,0,0,0)の置換112

(±1:±1,±1,±1,±1,±1,±1,±1)の置換256

(±1:0,0,0,±1,±1,0,±1)

(0:±1,±1,±1,0,0,±1,0)の0をひとつ±2に置換したもの,1792

[3]17520点とは

(±4:0,0,0,0,0,0)の置換16

(±2:±2,±2,0,0,0,0)の置換112

(±3:±1,±1,±1,±1,±1,±1,±1)の置換2048

(±1:0,0,0,±1,±1,0,±1)

(0:±1,±1,±1,0,0,±1,0)

の0をみっつ±2に置換したもの,1792

の0をひとつ±2,0をひとつ±3に置換したもの,1792

 これら17520点のうち,240点は重複している.→17280点

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