（その１）では射影幾何学におけるパップスの定理とデザルグの定理を，（その２）ではパスカルの定理とその拡張形定理を紹介しました．パップスの定理もデザルグの定理もパスカルの定理もメネラウスの定理，チェバの定理を用いて証明することができます．
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【１】射影幾何学におけるパップスの定理とデザルグの定理
［１］パップスの定理
直線上に３点Ａ，Ｂ，Ｃ，もう一つの直線上に３点Ａ’，Ｂ’，Ｃ’をとる．ＡＢ’とＡ’Ｂの交点をＰ，ＢＣ’とＢ’Ｃの交点をＱ，ＡＣ’とＡ’Ｃの交点をＲとするとき，Ｐ，Ｑ，Ｒは同一直線上にある．
すなわち，２直線上にすべての頂点がのっている６角形の反対側の位置にある辺同士の交点は同一直線上にあるというのが，射影幾何学におけるパップスの定理である．
パスカルの定理は円錐曲線が既約でない場合にも成り立つといわけで，これを発見したのもパップスである．直線は無限半径をもつ円であるが，２本の直線からなる退化した円錐曲線を考えれば容易にこの定理にたどりつくであろう．
［２］デザルグの定理
△ＡＢＣと△Ａ’Ｂ’Ｃ’において，ＡＡ’とＢＢ’とＣＣ’が点Ｏで交わるとする．ＡＢとＡ’Ｂ’の交点をＰ，ＢＣとＢ’Ｃ’の交点をＱ，ＡＣとＡ’Ｃ’の交点をＲとするとき，Ｐ，Ｑ，Ｒは同一直線上にある．
透視図法で移り合う２つの三角形について，対応する辺の交点はすべて１直線上にあるというのがデザルグの定理である．平行でない直線は有限の点で交わるが，平行な直線群は同じ無限遠点で交わる．無限遠直線を導入すると，任意の２直線は必ず交わることになるのである．
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１８９９年，ヒルベルトは代数学から幾何学への貢献となる素晴らしい発見をしています．
パップスの定理が成立する←→多元数系は可換
デザルグの定理が成立する←→多元数系は結合的
パップスの定理もデザルグの定理もヒルベルトにより射影幾何学のカギとなる定理であることが示されたというわけです．
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【２】パスカルの定理
［１］パスカルの円錐曲線定理
円錐曲線すなわち楕円，双曲線，放物線に内接する任意の六角形の三組の対辺の交点は同一直線上にある．
円錐曲線には種々の形があります．直線は無限半径をもつ円ですが，２本の直線からなる退化した円錐曲線（ａｘ＋ｂｙ＋ｃ）（ｄｘ＋ｅｙ＋ｆ）＝０を考えればパップスの定理「直線上に３点Ａ，Ｂ，Ｃ，もう一つの直線上に３点Ａ’，Ｂ’，Ｃ’をとる．ＡＢ’とＡ’Ｂの交点をＰ，ＢＣ’とＢ’Ｃの交点をＱ，ＡＣ’とＡ’Ｃの交点をＲとするとき，Ｐ，Ｑ，Ｒは同一直線上にある．」にたどりつきます．パスカルの定理は円錐曲線が既約でない場合にも成り立つというわけで，どのような円錐曲線でもこの定理が成り立つことが主張されているのです．
パスカルの定理の重要な系が「円錐曲線は任意の５点で一意に定まる」です．
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［２］パスカルの円錐曲線定理の拡張
円錐曲線上に６点を定める．３次曲線Ｅ1，Ｅ2がこれら６点を通るとき，Ｅ1，Ｅ2はさらに３点Ｒ，Ｓ，Ｔで交差するが，これらの交点は同一直線上にある．
３次曲線Ｅ1，Ｅ2は一般に９個の交点をもちますから，前述のパスカルの定理は，拡張形定理（２次曲線あるいは３次曲線相互の交点が直線上に並ぶことを主張する定理）において，３次曲線が直線に退化した特別な場合：（ａｘ＋ｂｙ＋ｃ）（ｄｘ＋ｅｙ＋ｆ）（ｇｘ＋ｈｙ＋ｉ）＝０とみなすことができます．
この拡張形定理は楕円曲線：ｙ^2＝ｘ^3＋ａｘ＋ｂ （４ａ^3＋２７ｂ^2≠０）の結合法則をも保証するものであって，その意味では楕円曲線論，代数曲線論における基本定理の原型となる重要な定理となっていて，代数幾何学の重要な定理と深く関わっています．
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［３］オイラーの定理
２つの３次曲線が９点で交わっているとき，９個の交点のうち８個を通る３次曲線は残りの１点をも通る．
オイラーの定理の重要な系がパスカルの拡張形定理「２つの３次曲線が９点で交わっているとき，９点中６点がひとつの２次曲線上にあれば，残りの３点は１直線上にある」です．一般に，２つのｎ次曲線ｆ（ｘ，ｙ）＝０とｇ（ｘ，ｙ）＝０がｎ^2個の点で交わっているとします．こられのｎ^2個の交点中，ｎ^2＋ｎ−２個の交点を通るｎ次曲線は残りのｎ−２個の点も通り，
ｆ（ｘ，ｙ）＋ｔｇ（ｘ，ｙ）＝０
で表されます．
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【３】メネラウスの定理とチェバの定理
［１］メネラウスの定理
直線が△ＡＢＣの辺またはその延長と，それぞれＰ，Ｑ，Ｒで交わるとき
ＡＰ／ＰＢ・ＢＱ／ＱＣ・ＣＲ／ＲＡ＝１
が成り立つ．逆に，
ＡＰ／ＰＢ・ＢＱ／ＱＣ・ＣＲ／ＲＡ＝１
が成り立てば，Ｐ，Ｑ，Ｒは１直線上にある．
［２］チェバの定理
△ＡＢＣの辺またはその延長上にない点Ｏをとる．頂点Ａ，Ｂ，Ｃと点Ｏを結ぶ直線が△ＡＢＣの辺またはその延長とそれぞれＰ，Ｑ，Ｒで交わるとき
ＡＲ／ＲＢ・ＢＰ／ＰＣ・ＣＱ／ＱＡ＝１
が成り立つ．逆に，
ＡＲ／ＲＢ・ＢＰ／ＰＣ・ＣＱ／ＱＡ＝１
が成り立てば，ＡＰ，ＢＱ，ＣＲは１点で交わる．
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２つの定理は一見似たような定理ですが，メネラウスの定理は「３点が１直線上にある」ことを，チェバの定理は「３直線が１点で交わる」ことを示しています．
パスカルの定理から１５０年以上たって，その双対にある共点定理「円錐曲線の外接する６辺形の対角線は１点で交わる」が発見されたのですが，それがブリアンションの定理です．メネラウスとチェバの生存時期も１５００年以上違い，その間何もなされませんでした．不思議さを感じてしまいます．
なお，射影平面上では点という語と直線という語を入れ替えても定理は成り立っています．これをポンスレーの双対原理と呼び，射影幾何学の最も美しい特質です．
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