■n次元平行多面体数(その193)

 n次元多面体Pのデーン不変量は

  D(P)=Σ(n−2次元面体積)×(二面角)

で定義される.

 αn:cosδ=1/n,tanδ=(n^2−1)^1/2

 βn:cosδ=(2−n)/n,tanδ=2(n−1)^1/2/(2−n)

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 pαn±qβn=±rπ

が成り立つのは

n=3のとき(p,q,r)=(2,2,2)

n=4のとき(p,q,r)=(0,3,2)

n=8のとき(p,q,r)=(1,2,2)

 また,

 xD(αn)+yD(βn)=0   (modπ)

n=3のとき(x,y)=(2,1)

n=4のとき(x,y)=(0,1)

n=8のとき(x,y)=(1920,135)

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 xD(αn)+yD(βn)=0   (modπ)

n=3のとき(x,y)=(2,1)

 1次元面数はα3:6,β3:12=1:2

 2arccos(1/3)+2arccos(−1/3)=0   (modπ)

n=4のとき(x,y)=(0,1)

 2次元面数は96

 96arccos(−1/2)=0   (modπ)

n=8のとき(x,y)=(1920,135)

 六次元面数はα8:(9,7)=36,β8:2^7(8,7)=2^10

 二面角はarccos(1/8),arccos(−6/8)

 x,yもつけて定式化すると

 1920・2^2・3^2・arccos(1/8)+135・2^10arccos(−6/8)

=2^9・3^3・5arccos(1/8)+2^10・3^3・5arccos(−6/8)

  2arccos(−6/8)=2π−arccos(1/8)

  arccos(1/8)+2arccos(−6/8)=0   (modπ)

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