（Ｑ１）正三角形に正方形を内接させる問題を考えます．正方形の４つの頂点は正三角形の辺上にあり，２つの頂点は正三角形の底辺に，あとの２つの頂点はそれぞれ斜辺の上にあるものとします．

（Ａ１）正三角形の１辺の長さを１とし，正三角形の斜辺上にある正方形の頂点がそれをｘ：１−ｘに内分するとき

　　ｘ＝（１−ｘ）ｓｉｎ６０°

より

　　ｘ＝２√３−３

　今回のコラムでは，それの双対問題「正方形にはいる最大の正三角形」を考えてみます．

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【１】正方形にはいる最大の正三角形

　正三角形の１つの頂点は正方形の頂点上にあり，２つの頂点は正方形の辺上にあるものとき，最大の正三角形が得られますから，

正方形の１辺の長さを１とし，正方形の辺上にある正三角形の頂点がそれをｘ：１−ｘに内分するとき

　　ｘ＝ｔａｎ１５°＝２−√３

　したがって，面積比は

　　（ｘ^2＋１）ｓｉｎ６０°／２＝２√３−３

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【２】正五角形内にはいる最大の正方形

(1)正五角形の垂線を対角線とする正方形を考えます．正五角形の１辺の長さを１とすると，正方形の１辺は１．０８８１３となりますが，このとき正五角形の頂点と底辺以外にある正方形の２つの頂点は正五角形の枠内からはみ出してしまいます．そこで，正五角形内にはいる最大の正方形を求めてみることにしました．

(2)まず，正方形の１つの頂点を正五角形の頂角にはめ込んで，正方形の２つの頂点を正五角形の辺上におくと，正方形の１辺は１．０６７３となります．このとき，もうひとつの頂点は正五角形の垂線上で正五角形の底辺に触れていないところにきます．

(3)次の候補として，正五角形の底辺と平行・垂直な辺をもつ正方形を求めると１辺の長さは１．０６０５となりました．(3)はどちらへも動かしようがないので最大のものと考えたくなるのですが，真の解（正五角形内にはいる最大の正方形）は辺の長さ１．０６７３の正方形(2)ということになります．

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【３】正ｎ角形内にはいる最大の正（ｎ−１）角形

　同様のことをｎ＝７，９，１１，１３，・・・についても求めてみます．(2)では正ｎ角形の頂点に連接する辺上に正（ｎ−１）角形の２頂点がくる，(3)では正ｎ角形の頂点に連接する辺上に２頂点，正ｎ角形の底辺に連接する辺上に２頂点あるとして計算式をたてます．

　計算式は複雑になるので省きますが，

　　ｎ (1) (2) (3)

　　５ 1.08813 1.0674 1.0605

　　７ 1.09532 1.06654 1.08378

　　９ 1.08515 1.05589 1.0794

　　11 1.07463 1.04695 1.07137

　　13 1.06578 1.04012 1.06377

　　15 1.05857 1.03489 1.05724

　　17 1.05268 1.0308 1.05176

　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　99 1.00995 1.00512 1.00994

となりました．

　ｎ＝５のときは(2)>(3)ですが，ｎ＞５では(2)<(3)となって(3)の値はｎの増加とともに(1)の値に近づくようです．その意味でｎ＝５は特別な場合になっていることがわかります．

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