このシリーズでは，ＰとＱを正多面体として，ＰがＱに含まれるときの体積比の最大値を求めることを問題としてきた．ＰとＱの組み合わせ方によって，全部で２０通りの場合があるが，そのうち１４通りについてクロフトは解決した．今回のコラムではクロフトの７の定理と把持定理を比較してみることにする．

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【１】物体の把持

　対象物を把持するという工学の問題を考えます．人間の指であれば，親指と人差し指で物体を器用に把持（ピンチング）できますが，それは指が柔らかいために物体と面接触し，そこに働く摩擦力と微妙に物体をころがして接触面を移動させるという巧みな調節が無意識のうちに働くことによって，物体が安定に拘束されているためです．

　人間の腕や手は冗長関節系になっていますが，いちいち複雑な計算をしながら制御されているわけでもないのに冗長性が自然に解消されています．しかし，ロボットの場合，うまく把持するという動作の調節は簡単にはいきません．

　そこでここでは最も簡単な場合，すなわち，２次元の凸多角形に対して辺に直交する力を加えて水平面上で動かないようにするという問題を考えます．この場合，物体にかかる力の和＝０，トルク（回転モーメント）の和＝０となることが平衡（平行移動も回転もしない）のための物理的条件です．

　はじめに三角形物体を考えると，任意の三角形物体は３つの固定点で不動化できることがこの物理的条件から証明されるのですが，辺上の３点をＰ1，Ｐ2，Ｐ3とすると，これらの点からその辺に垂直な線を引き，この３つの直線が１点Ｏで交わるというのが不動化のための条件となります．

　このような点Ｏの典型例は，点Ｏが三角形の最大内接円の中心（すなわち内心）となることで，そのとき，Ｐ1，Ｐ2，Ｐ3は最大内接円と三角形の接点（すなわち内心から各辺に下ろした垂線の足）として与えられます．

　しかし，点Ｏは必ずしも三角形の内部にある必要はなく，点Ｏから各辺に下した垂線の足がその辺上で交わればよいのです．辺の延長線上ではいけません．

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【２】把持定理

　三角形は３点で不動化可能ですが，一般に凸多角形は４点で不動化できます．この場合も最大内接円が関係してきます．さらに細かくいうと，長方形，平行四辺形，台形のように平行な辺をもつ凸多角形ではどうしても４点が必要になりますが，平行な辺をもたない任意の凸多角形は３点で不動化できます．

　この定理の３次元版は少し複雑になりますが，任意の３次元多面体は６点で，平行面をもたない多面体は４点で不動化できることが証明されています．

　さらに，任意のｎ次元胞体の場合，固定点は２ｎ個，平行な胞（ｎ−１次元対応物）をもたないときはそれよりずっと少なくでき，ｎ＋１個まで減らせることが示されています．

　これらのことからふと思ったのですが，これらの定理はｎ次元超立方体や双対立方体を平面に投影すると２ｎ角形（３次元立方体であれば影の形は６角形になる），ｎ次元正単体を投影すると輪郭はｎ＋１角形になることと関係しているのかもしれません．正直いってよくわかりませんが，ひょっとすると類似の方法が使えないかと期待しています．小生の希望に過ぎませんが・・・

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【３】７の定理

　把持定理は物体が点で支えられて安定に拘束されているための不動化定理ですが，面に直交する力を加える位置には自由度があります．それに対して，多面体ＰがＱに含まれるとき，Ｑは固定されているので自由度は制限され，可動調節するわけにはいきません．

　その場合，

(1)Ｐの頂点がＱの面と接触するとき，１ポイントと数える．

(2)Ｐの頂点がＱの辺と接触するとき，２ポイントと数える．

(3)Ｐの頂点がＱの頂点と接触するとき，３ポイントと数える．

(4)Ｐの面がＱの面と接触するとき，３ポイントと数える．

　そして，Ｐ　ｉｎ　Ｑの不動化定理には少なくとも７ポイントの拘束が必要になるというのがクロフトの定理です．

　　Croft, HT: On maximal regular polyherda inscribed in a regular polyhedron, Proc. London Math Soc(3), 41, 279-296, 1980

　Ｐの辺がＱの辺と接触する場合，Ｐの辺がＱの面と接触する場合のポイントについては記載がありませんが，２ポイントと数えるのでしょう・・・

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