今回のコラムでは正多面体に内接する最大の正八面体についてまとめてみま
す．Ｏ ｉｎ Ｃはすでに取り上げてあるので割愛し，ここで取り上げるのは３つのケース
Ｏ ｉｎ Ｔ， Ｏ ｉｎ Ｄ， Ｏ ｉｎ Ｉ
です．
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【１】Ｏ ｉｎ Ｔ
正四面体の６個の辺の中点を結ぶと正四面体の中に正八面体ができますが，その正八面体が正四面体に内接する最大の正八面体です．したがって，その体積比は１／２となります．
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【２】Ｏ ｉｎ Ｄ
正十二面体の辺心図において，もとの立方体の１辺の長さを２，もとの立方体表面に残る１本の稜の長さを２ｄとします（０≦ｄ≦１）．すると頂点は
（±１，±ｄ，０），（０，±ｄ，±１），（±ｄ，０，±１）
すなわち，切削してできる五角形面の頂点をｘｙｚ座標で表すと（０，１，ｄ）の巡回置換（１，ｄ，０），（ｄ，０，１）を頂点にもつことがわかります．ｄは
ｄ＝（３−√５）／２
と計算されます．
正十二面体に内接する正八面体の体積が最大となるのは，正八面体の６つの頂点が正十二面体の辺の中点
（±１，０，０），（０，±１，０），（０，０，±１）
にあるときです．したがって，正八面体の辺の長さは√２で，正八面体の体積は立方体の１／６ですから，正八面体と正十二面体の体積比は
３２／｛６（３−√５）^3（１５＋７√５）｝＝0.390274
になります．
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【３】Ｏ ｉｎ Ｉ
正二十面体に内接する最大の正八面体の場合，６つの頂点を
（±１，０，０），（０，±１，０），（０，０，±１）
に置いたときよりも大きくすることができます．
正十二面体の場合と同様に，正二十面体の辺心図において，もとの立方体の１辺の長さを２，もとの立方体表面に残る１本の稜の長さを２ｄとします（０≦ｄ≦１）．すると切稜角φとの関係は
ｔａｎφ＝１−ｄ
で表されます．
正十二面体ではもとの立方体の表面の痕跡がないまったく新たに作られる頂点がありますが，正二十面体ではすべての頂点がもとの立方体の表面上にあります．ここで，三角面の頂点の座標を
Ａ（０，１，ｄ）
Ｂ（−ｄ，０，１）
Ｃ（ｄ，０，１）
Ｄ（０，ｄ，０）
とおきます．
ＡＢＣ面が正三角形となるための条件は，辺ＡＣ＝辺ＢＤより
ｄ^2＋（ｄ−１）^2＋１＝４ｄ^2 → ｄ^2＋ｄ−１＝０
ですから，これを解いて
ｄ＝（√５−１）／２
切稜角は
ｔａｎφ＝１−ｄ → φ＝２０．９０５２°
と計算されます．
また，三角形ＡＣＤにおいて
Ａ（０，１，ｄ）
Ｃ（ｄ，０，１）
Ｄ（１，ｄ，０）
ですから
辺ＡＣ＝辺ＣＤ＝辺ＤＡ＝｛ｄ^2＋（ｄ−１）^2＋１｝^(1/2)
すなわち，三角形ＡＣＤも正三角形です．
次に，正三角形ＡＣＤが切頂面であることを証明します．
ＯＡ＝ＯＣ＝ＯＤ＝｛ｄ^2＋１｝^(1/2)
より３点Ａ，Ｃ，Ｄは原点Ｏから等距離にあり，ＡＣＤ面の重心Ｇと原点Ｏを結ぶ線はＡＣＤ面と直交することがわかります．
また，重心Ｇは
（（１＋ｄ）／３，（１＋ｄ）／３，（１＋ｄ）／３）
したがって，重心Ｇは原点Ｏと（１，１，１）を結ぶ線上にあることから正三角形ＡＣＤが切頂面であることが理解されます．
ちなみに（１，１，１）はＡＣＤ面の法線ベクトルですが，ＡＣＤ面の単位法線ベクトルｐ↑は
ｐ↑＝（１／√３，１／√３，１／√３）
ですから，ＡＣＤ面とｘｙ平面（ｙｚ平面，ｚｘ平面）のなす角（切頂角）は π／２−ａｒｃｃｏｓ（１／√３）
＝ａｒｃｔａｎ（１／√２）＝３５．２６４４°
となって，切頂定規（１：√２：√３）が必要になるというわけです．
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正二十面体に内接する正八面体の２つの頂点を正二十面体の頂点Ｅ（１，ｄ，０），Ｆ（１，−ｄ，０）を結ぶ辺をｙ：１−ｙに内分する点Ｇ（１，ｄ（１−２ｙ），０）とその対蹠点Ｈ（−１，−ｄ（１−２ｙ），０）におきます．
このとき，原点Ｏを通りＧＨ軸と垂直な平面は，正二十面体と１０点で交わります．この１０点から点（０，０，±１）を除いた８点からひとつおきに４点を選びます．この４点が正八面体の残りの頂点になるものとします．
私はこの４点の座標を解析幾何学的に定めて正八面体になるための条件から辺の長さを決定したのですが，かなり面倒な計算式になってしまいました．それに対して，クロフトの論文ではギリシア幾何学的にもっとスマートに求めています．ここではクロフトの計算方法を紹介しますが，次のように考えると複雑な計算を回避できます．
正二十面体の辺の長さを１とすると，正八面体の辺の長さは２通りの計算式
１＋２ｙｃｏｓ（２π／５）
（ｙ^2＋３（１−ｙ）^2ｓｉｎ^2δ）^1/2
で表されます．２δは正二十面体の二面角で
ｃｏｓ２δ＝１−２ｓｉｎ^2δ＝−√５／３
ｓｉｎ^2δ＝（３＋√５）／６
ですから，
１＋２ｙｃｏｓ（２π／５）＝（ｙ^2＋３（１−ｙ）^2ｓｉｎ^2δ）^1/2
を解いて
ｙ＝１−１／√２＝0.292893，１−ｙ＝１／√２＝0.707107
これを
１＋２ｙｃｏｓ（２π／５）
に代入すると，正八面体の１辺の長さは
１＋２ｙｃｏｓ（２π／５）＝（２−√１０＋√２＋２√５）／４
と求められます．
このことから，体積比は
√２／３｛（２−√１０＋√２＋２√５）／４｝^3／｛（１５＋５√５）／１２｝＝0.355934
と計算されます．
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【補】黄金比ついて
黄金比φ＝（１＋√５）／２は，正五角形の１辺の長さと対角線の長さの比であり，２次方程式
ｘ^2−ｘ−１＝０
の正の解である．したがって，φ^2−φ−１＝０である．
この等式から
φ^2＝φ＋１，１／φ＝φ−１，１／φ^2＝２−φ
などが得られる．これらはφを含む式をａφ＋ｂの形に変形するときに用いられる．
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