【１】ルート系の例

　ルートは，半単純リー群の分類とか，特異点，正多面体の決定の際にも現れ，数学のさまざまな領域で重要な働きをします．

　ここで，R^nの標準基底をｅ1，・・・，ｅnとしましょう．

　　ｅi＝（０，・・・，１，０，・・・，０）

たとえば，R^3の標準基底をｅ1，ｅ2，ｅ3，R^4の標準基底をｅ1，・・・，ｅ4，R^8の標準基底をｅ1，・・・，ｅ8とすると，Ａ3型ルート系は，

　　Φ＝｛ｅ1−ｅ2，ｅ2−ｅ3，ｅ3−ｅ4｝

Ｄ4型ルート系は，

　　Φ＝｛ｅ1−ｅ2，ｅ2−ｅ3，ｅ3−ｅ4，ｅ3＋ｅ4｝

Ｅ8型ルート系は，

　　Φ＝｛ｅ1−ｅ2，・・・，ｅ7−ｅ8，ｅ0−ｅ1−ｅ2−ｅ3｝

のようにとれます．

　ここで，それぞれ，

　　αi＝ｅi−ｅi+1

　　αi＝ｅi−ｅi+1，αn＝ｅn-1−ｅn

　　αi＝ｅi−ｅi+1，α0＝−ｅ1−ｅ2−ｅ3

とおきます．そうすると，Ｅ8型ルート系の場合，

　　α1−α2−α3−α4−α5−α6−α7

　　　　　　　｜　　　　　　　　　　

　　　 　　　α0　　　　　　　　　　

となり，前述のディンキン図形が求まります．このように，ディンキン図形は特異点とルート系の架け橋となっているグラフなのです．

　ルートは鏡映を与えるベクトルとして理解することができるのですが，８次元ユークリッド空間において，８次元単体（４面体の拡張）を鏡映したものからなるモザイク模様に対してベクトルの集合を考えることによって，Ｅ8型ルート系が得られるというわけです．多岐にわたる話題の中に少なからぬ重要性をもって現れるわけですから，魅力的な世界を形作っていると申せましょう．

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【２】２次元ルート系の例

　このようにして，平面を鏡映三角形で埋めつくす問題を２つのベクトルα，βの長さと角度によって特徴づけると，R^2のベクトルの集合

　　Φ1＝｛α，β，α＋β｝

　　Φ2＝｛α，β，α＋β，２α＋β｝

　　Φ3＝｛α，β，α＋β，２α＋β，３α＋β，３α＋２β｝

を考えることができます．

　２つのベクトルα，βをルート系の基底，また，このようにして得られたベクトルの集合Φ1，Φ2，Φ3を階数２のルート系と呼びます．そのワイル群はそれぞれ３次対称群Ｓ3，位数８の２面体群Ｄ8，位数１２の２面体群Ｄ12となっています．

　また，平面を鏡映三角形で埋めつくす問題を一般の次元に拡張して，R^nの単体に置き換えて得られるベクトルの集合が一般の階数のルート系となります．そのとき，ｎ次元単体の基底となるｎ個のベクトルの集合を

　　Φ＝｛α1，α2，・・・，αn｝

として，

　　〈αi，αj〉＝２（αi，αj）／（αj，αj）＝Ｃij

で与えられる整数をカルタン数，ｎ次正方行列Ｃ＝｛Ｃij｝をカルタン行列といいます．これはαjを長さ√２のベクトルとするとき，カルタン行列は内積（αi，αj）からなるグラミアンとして定義されることを意味しています．

　カルタン行列では，この４つの場合分けが可能となるのですが，カルタン数はそれほど多くの値をとるわけではないので，その状況を端的に表すグラフ（ディンキン図形）を考えることができます．そして，〈α，β〉〈β，α〉，すなわち，

　　θ＝π／２・・・・結ばない

　　θ＝π／３・・・・辺−で結ぶ

　　θ＝π／４・・・・辺＝で結ぶ

　　θ＝π／６・・・・辺≡で結ぶ

と定めます．

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