【１】ヤコビのテータ関数

　ヤコビの楕円関数sn,cn,dnを三角関数に対応する２重周期関数とするならば，ヤコビのテータ関数は指数関数に対応する擬２重周期関数です．

　θ3（ｚ）の定義は，三角関数を用いると

　　θ3（ｚ）＝Σｑ^(n^2)ｙ^(2n)

　　　　　　 ＝１＋２Σｑ^(n^2)ｃｏｓ（２ｎπｚ）

とも表されます．ヤコビが定義したテータ関数はθ3を含めて４つあります．

　　θ4（ｚ）＝Σ(-1)^nｑ^(n^2)ｙ^(2n)

　　　　 ＝１＋２Σ(-1)^nｑ^(n^2)ｃｏｓ（２ｎπｚ）

　　θ2（ｚ）＝Σｑ^((n+1/2)^2)ｙ^(2n+1)

　　　　 ＝２Σｑ^((n+1/2)^2)ｃｏｓ（２ｎ＋１）πｚ

　　θ1（ｚ）＝1/iΣ(-1)^nｑ^((n+1/2)^2)ｙ^(2n+1)

　　　　 ＝２Σ(-1)^nｑ^((n+1/2)^2)ｓｉｎ（２ｎ＋１）πｚ

　ｑの指数は整数Ｚや半整数Ｚ＋１／２の２乗ですが，このことから整数あるいは半整数のつくる１次元格子上の２次形式と理解することができます．そして，整数・半整数，交代・非交代の組合せから４つのテータ関数が定義されるというわけです．

　簡単のため，ｚ＝０（ｙ＝１）とおいたものをθk（τ）とかくと，

　　θ3（τ）＝Π（１−ｑ^2m）（１＋ｑ^(2m-1)）^2

　　θ4（τ）＝Π（１−ｑ^2m）（１−ｑ^(2m-1)）^2

　　θ2（τ）＝２ｑ^(1/4)Π（１−ｑ^2m）（１＋ｑ^2m）^2

　　θ1（τ）＝０

　　θ1'（τ）＝ｄθ1／ｄｚ｜(z=0)＝２πｑ^(1/4)Π（１−ｑ^2m）^3

となります．

　また，これらより

　　πθ2（τ）θ3（τ）θ4（τ）＝θ1'（τ）

　　θ3^4（τ）＝θ2^4（τ）＋θ4^4（τ）

などの関係式を導き出すことができます．

　ここからはデデキントのイータ関数との関係で

　　ｑ＝ｅｘｐ（２πｉτ）

としますが，周期性

　　θ3（τ＋１）＝θ4（τ）

　　θ4（τ＋１）＝θ3（τ）

　　θ2（τ＋１）＝θ2（τ）ｅｘｐ（πｉ４）

双対性については，ポアソンの和公式を用いて求めます．

　　θ3（−１／τ）＝θ3（τ）（−ｉτ）^(1/2)

　　θ4（−１／τ）＝θ2（τ）（−ｉτ）^(1/2)

　　θ2（−１／τ）＝θ4（τ）（−ｉτ）^(1/2)

　また，テータ関数はヤコビの３重積公式

　　Σｑ^(m^2)ｙ^m＝Π（１−ｑ^2n）（１＋ｙｑ^(2n-1)）（１−ｙｑ^(2n-1)）

にも結びついています．

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【２】ルート格子からの補足

　ルート格子Ｄnとは，ベクトル（ｘ1，ｘ2，・・・，ｘn）において，

　　1)ｘiがすべて整数をとり

　　2)それらの総和が偶数値をとる

格子です．ｎ次元ダイアモンド格子Ｄn+はさらに

　　3)半整数値をとるもの

という条件を加えます．

　Ｄn+はｎが偶数のときに限り格子になり，とくにｎが８の倍数のとき偶ユニモジュラ格子（ベクトルの長さの２乗がすべて偶数であり，単位体積に含まれる点が１個に限られる格子）です．リー環との関係からＤ8+＝Ｅ8と呼びます．偶ユニモジュラ格子はｎが８の倍数のときにしか存在しません．

　８次元の偶ユニモジュラ格子はＥ8だけしかないのに対して，１６次元の偶ユニモジュラ格子は２つあるというわけです（ヴィット，１９４１年）．なお，２４次元偶ユニモジュラ格子は２４種類あり，その中には有名なリーチ格子Λ24も含まれます（ニーマイヤー）．

　１６次元格子Ｄ16と８次元格子Ｅ8（＝Ｄ8+）のテータ関数を決定してみましょう．前節よりヤコビのテータ定数を

　　θ3＝Σｑ^(n^2)

　　θ4＝Σ(-1)^nｑ^(n^2)

　　θ2＝Σｑ^((n+1/2)^2)　　　q=exp(2πiz)

とします．θ3は立方体格子（整数値をとる格子），θ4は立方体格子に含まれるベクトルでノルムが奇数値をとるものの符号を変えてできる格子，θ2は半整数値をとる格子に対応していると考えることができます．

　このことから，Ｄnのテータ関数は

　　１／２（θ3^n＋θ4^n）

Ｄn+のテータ関数は

　　１／２（θ2^n＋θ3^n＋θ4^n）

であることがわかります．

　なお，格子Ｌの双対格子Ｌ+のテータ関数の間には，ヤコビの変換公式

　　θ+＝（ｄｅｔＬ）^(1/2)（ｉ／ｚ）^(n/2)θ(-1/z)

が成り立ちます．

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