【１】ケイリー整数とＥ8格子

　八元数Σａjｅjにおいて，係数ａj(j=0~7)が

　　1)整数値をとるもの

　　2)半整数値の奇数倍をとるもの

　　3)４個が整数値，４個が半整数値の奇数倍をとるもの

を加えて，「ケイリーの整数」と呼びます．

　ただし，3)において整数である番号は（ｉ，ｊ，ｋ）７組に０（実数）を加えた集合および（０〜７）に対するその補集合の１４組に限ります．

　このような点をすべてとると，８次元空間内で隣り合う２点間の距離がすべて１の格子ができあがります．原点に隣接する点は２４０個あり，それらと原点を結ぶベクトルが例外型リー環のＥ8ルート系を表すので，この格子をＥ8格子といいます．

　Ｅ8格子にはほかにもいくつかの構成法があり，ここではケイリー整数との関連で説明しましたが，その配列は本質的にはこの形しかありません．Ｓ^7の上の２４０個の点は直交変換で互いに移りうる点の組を同じものとみなすと一意なのです．

　そして，８次元空間において，２個の正軸体（正８面体の拡張）と１個の正単体（正４面体の拡張）を組み合わせると空間充填形ができるのですが，ケイリー整数の作る格子がその具体形になっています．

　なお，Ｅ8格子において，原点からの距離が√ｎである格子点の個数は

　　２４０σ3（ｎ）

（ここで，σ3（ｎ）はｎの約数の３乗の和）と表せることが知られています．すなわち，

　　ｎ＝１　→　２４０・１^3＝２４０個

　　ｎ＝２　→　２４０・（１^3＋２^3）＝２１６０個

　　ｎ＝３　→　２４０・（１^3＋３^3）＝６７２０個

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【２】Ｄ4格子

　Ｄ4格子（＝Ｆ4格子）は４次元の体心立方格子であり，正２４胞体による４次元空間の充填形に相当するものです．ここで，σ0（ｎ）をｎの奇数の約数の和と定義します．そうすればＤ4格子では原点からのノルムがｎである点の個数が

　　２４σ0（ｎ）

で与えられるのですが，

　　ｎ＝１　→　２４・１＝２４個

　　ｎ＝２　→　２４・１＝２４個

　　ｎ＝３　→　２４・（１＋３）＝９６個

　　ｎ＝４　→　２４・１＝２４個

　　ｎ＝５　→　２４・（１＋５）＝１４４個

　　ｎ＝６　→　２４・（１＋３）＝９６個

　　ｎ＝７　→　２４・（１＋７）＝１９２個

　　ｎ＝８　→　２４・１＝２４個

　　ｎ＝９　→　２４・（１＋３＋９）＝３１２個

　　ｎ＝10　→　２４・（１＋５）＝１４４個

　さらに，Ｄ4格子の各格子点の勢力範囲が１／２であることを使うと

　　Σ１／ｎ^2＝π^2／６

を証明できます．同様に，例外型リー環に属する８次元のＥ8格子では

　　２４０σ3（ｎ）

であり，勢力域の体積が１／１６であることから

　　Σ１／ｎ^4＝π^4／９０

を得ることができます．

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