【１】格子のテータ関数

　格子に含まれるベクトルで与えられたノルム（長さの２乗）のものがいくつあるかによって，テータ関数が決まります．たとえば，六角格子ではノルム０のベクトルは１個，ノルム１のベクトル６個，ノルム３のベクトル６個，ノルム４のベクトル６個，ノルム７のベクトル１２個，・・・と数えていけば，この格子のテータ関数Θ(z)は

　　Θ(z) ＝１＋６ｑ＋６ｑ^3＋６ｑ^4＋１２ｑ^7＋・・・

　　　　　＝Σａｑ^k　　　ｑ＝ｅｘｐ（２πｉｚ）

と定義されます．

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【２】ミルナーの反例

　数学者は１次元・２次元・３次元という一般的な空間だけにとらわれません．無限次元さえ考えるのですが，１９６４年，ミルナーはカッツの問題に対する反例を最初に見つけました．すなわち，幾何学的には異なるけれども同じ音を出す１６次元のドラムのペアを発見したのです．

　「Ｒ^16のなかには形の異なる２つの偶ユニモジュラ格子Ｅ8＋Ｅ8，Ｄ16+がある．この２つの格子から構成されるトーラスＲ^16／Ｅ8＋Ｅ8，Ｒ^16／Ｄ16+は同じテータ関数をもつ（＝等スペクトル）である．」

（証）１６次元ダイアモンド格子Ｄ16+のテータ関数は

　　１／２（θ2^16＋θ3^16＋θ4^16）

Ｅ8＋Ｅ8のテータ関数は

　　｛１／２（θ2^8＋θ3^8＋θ4^8）｝^2

＝１／４（θ2^16＋θ3^16＋θ4^16＋２θ2^8θ3^8＋２θ3^8θ4^8＋２θ4^8θ2^8

　ここで，ヤコビの関係式

　　Ｄ4+＝Ｉ4　→　θ3^4＝１／２（θ2^4＋θ3^4＋θ4^4）

　　θ3^4＝θ2^4＋θ4^4

より，θ3を消去すれば両者は（定数倍を除いて）一致することが確認できる．

　　θ3^8＝θ2^8＋θ4^8＋２θ2^4θ4^4

　　θ3^16＝θ2^16＋θ4^16＋４θ2^12θ4^4＋６θ2^8θ4^8＋４θ2^4θ4^12

　　θ3^8（θ2^8＋θ4^8）＝（θ2^8＋θ4^8）^2＋２θ2^4θ4^4（θ2^8＋θ4^8）＝θ2^16＋θ4^16＋２θ2^8θ4^8＋２θ2^12θ4^4＋２θ2^4θ4^12

　　２θ3^8（θ2^8＋θ4^8）＝２θ2^16＋２θ4^16＋４θ2^8θ4^8＋４θ2^12θ4^4＋４θ2^4θ4^12

θ3^16＋２θ3^8（θ2^8＋θ4^8）＝３θ2^16＋３θ4^16＋１０θ2^8θ4^8＋８θ2^12θ4^4＋８θ2^4θ4^12

　　１／２（θ2^16＋θ3^16＋θ4^16）＝１／２（２θ2^16＋２θ4^16＋４θ2^12θ4^4＋６θ2^8θ4^8＋４θ2^4θ4^12）

　　｛１／２（θ2^8＋θ3^8＋θ4^8）｝^2

＝１／４（θ2^16＋θ3^16＋θ4^16＋２θ3^8（θ2^8＋θ4^8）＋２θ4^8θ2^8

＝１／４（４θ2^16＋４θ4^16＋８θ2^12θ4^4＋１２θ2^8θ4^8＋８θ2^4θ4^12）

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　ところが，偶ユニモジュラ格子は保型性

　　Θ((az+b)/(cz+d))＝(cz+d)^(n/2)Θ(z)

を満さなければならないため，１６次元の場合，テータ関数は，

　　Θ(z)＝１＋４８０Σσ7(n)ａｑ^2n＝Ｅ8(z)

ただひとつに限られる（σ7(n)はｎの正の約数の７乗和，Ｅ8(z)はアイゼンシュタイン級数）．

　したがって，トーラスＲ^16／Ｅ8＋Ｅ8とＲ^16／Ｄ16+は等スペクトルである（＝１６次元多様体の形は必ずしも聞き取ることはできない）ことが証明されたことになる．

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【補】アイゼンシュタイン級数とＥ8格子

　ＳＬ（２，Ｚ）群上，最も単純な（基本的・古典的）保型形式は重さｋのアイゼンシュタイン級数

　　Ｅk＝１／２Σ１／（ｍｚ＋ｎ）^k

　　　　ｍ，ｎは互いに素，ｋは整数４，６，８，・・・（４以上の偶数）

です．すなわち，アイゼンシュタイン級数は変換公式

　　Ｅk(az+b/cz+d)=(cz+d)^kＥk(z)

　　　　ｃ，ｄは互いに素

を満たすというわけです．

　保型性の定義から

　　Ｅk(z+1)＝Ｅk(z)

　　Ｅk(-1/z)＝z^kＥk(z)

はすぐわかりますが，前者は周期性，後者は双対性と理解することができます．

　　Ｅk(z+1)＝Ｅk(z)　　　　（周期性）

　　Ｅk(-1/z)＝z^kＥk(z)　　（双対性）

　この保型性の定義は周期性f(x+1)=f(x)を含むので，任意の保型形式はq=exp(2πiz)とするフーリエ展開をもち，

　　Ｅ4(z)＝１＋２４０Σσ3(n)ｑ^n

　　Ｅ6(z)＝１−５０４Σσ5(n)ｑ^n

　　Ｅ8(z)＝１＋４８０Σσ7(n)ｑ^n

　　Ｅ10(z)＝１−２６４Σσ9(n)ｑ^n

　　Ｅ12(z)＝１＋６５５２０／６９１Σσ11(n)ｑ^n

　　Ｅ14(z)＝１−２４Σσ13(n)ｑ^n

　　・・・・・・・・・・・・・・・・

　　　　　σk(n)はｎの正の約数のｋ乗和

　ベルヌーイ数を用いると

　　Ｅk(z)＝１−２ｋ／ＢkΣσk-1(n)ｑ^n

また，ζ(1-k)＝−Ｂk／ｋにより

　　Ｅk(z)＝１−２／ζ(1-k)Σσk-1(n)ｑ^n

とも表されます．これらはすべてのσk(n)を教えてくれる母関数であり，それが保型性を示しているという事実が，モジュラー関数は深淵といわれる所以です．

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