【１】４平方和定理の拡張

　何種類かの４変数２次形式，たとえば，

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｍｗ^2　　　（ｍ＝１，２，３，４，５，６，７）

はすべての正の整数を表現することができます．

（証明）ある数を表現しないと仮定すると，３平方和定理によりその数は８ｋ＋７の形でなければなりません．そのような数から，

　　ｍｗ^2　　（ｗ＝１，１，２，１，１，１，２）

を引くと，それぞれ８ｋ＋６，８ｋ＋５，８ｋ＋３，８ｋ＋３，８ｋ＋２，８ｋ＋１，８ｋ＋３の形の数となり，これらはすべてｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2の形に表現されます．

　なお，変数の数を任意とする正定値２次形式（たとえば，ａ^2＋２ｂ^2＋５ｃ^2＋５ｄ^2＋１５ｅ^2）が

　　１，２，３，５，６，７，１０，１４，１５

の１５までのなかでこれら９つの数を表現するならば，その２次形式はすべての正整数を表現することが知られています．この定理はルジャンドルの４平方和定理も内包しています．

　しかしながら，ルジャンドルの定理のように３変数２次形式

　　［ｘ，ｙ，ｚ］［ａ，ｈ，ｇ］［ｘ］＝ｎ

　　　　　　　　　［ｈ，ｂ，ｆ］［ｙ］

　　　　　　　　　［ｇ，ｆ，ｃ］［ｚ］

では表現できないような数が必ず存在します．

　たとえば，

　　Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ｘ^2＋２ｙ^2＋ｙｚ＋４ｚ^2

は１から３０までの整数をすべて表しますが，３１を表すことはできません（３２は表すことができる）．

　ここではオイラーの素数生成式（ｎ^2＋ｎ＋４１はｎが０から３９まですべて素数を与える）のようにうまい具合にいっている３変数２次形式を掲げましたが，正定値３変数２次形式はどれもある整数を表わすことができないのです．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝