■ある無限級数(その52)

 合成数とは素数でない数のことで,高次合成数とは24のように1,2,3,4,6,8,12,24と多くの約数をもつ数のことです.素数の正反対の性質をもつ数,反素数といってもよいでしょう.

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 24未満の数で,約数が6個を超えるものはない.たとえば,22の約数は4個,21も4個,20は6個,ところが,24には8個の約数がある.それ未満の数より多くの数をもつ数を「高次合成数」と定義することにする.

  n=2^a2×3^a3×5^a5×7^a7×・・・×p^ap

高次合成数24,60は

  24=2^3×3^1,a2=3,a3=1

  60=2^2×3^1×5^1,a2=2,a3=1,a5=1

のように表せる.

 また,

  6746328388800=2^6×3^4×5^2×7^2×11×13×17×19×23,a2≧a3≧a5≧・・・≧ap≧1

 a2≧a3≧a5≧・・・≧ap≧1は最後の指数は1になることを示しているが,無数にある高次合成数のなかでただ2つの例外がある.

  4=2^2,36=2^2×3^2

 高次合成数に関しても,素数定理

  π(x)〜x/logx   (x→∞)

(π(x)は任意の整数xを越えない素数の個数を表すものとする)のような類似式があるという.

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 また,24は有名なラマヌジャンの関数τ(n)にも関連している.

  Δ(z)=qΠ(1−q^n)^24=Στ(n)q^n

  q=exp(2πiz)

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[おまけ]

 (1+1/7)(1+1/11)(1+1/19)

={2(1−1/3^2)(1−1/7^2)(1−1/11^2)(1−1/19^2)}^1/2

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