ラマヌジャンは，保型性の研究から

　　ζ（３）＝７π^3／１８０−２Σ１／ｎ^3｛ｅｘｐ（２ｎπ）−１）

　　ζ（７）＝１９π^7／５６７００−２Σ１／ｎ^7｛ｅｘｐ（２ｎπ）−１）

を得ています．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　（その４７）では

　　ｋ＝６，１０，１４，・・・２　　（ｍｏｄ４）

に対して，ｚ＝ｉとおくことによって

　　Σｎ^k-1／（ｅｘｐ（２πｎ）−１）＝−ζ（１−ｋ）／２＝Ｂk／２ｋ

が得られることを紹介しましたが，

　　Σ１／ｎ^3｛ｅｘｐ（２ｎπ）−１）＝７π^3／３６０−ζ（３）／２

　　Σ１／ｎ^7｛ｅｘｐ（２ｎπ）−１）＝１９π^7／１１３４００−ζ（７）／２

と書くと

　　ｋ＝−２，−６，・・・

版になっている．

　　Σｃｏｔｈ（πｎ）／ｎ^3＝７π^3／３６０

　　Σｃｏｔｈ（πｎ）／ｎ^7＝１９π^7／１１３４００

　一般には，ｍ≧３，３ｍｏｄ４に対して

　　Σｃｏｔｈ（πｎ）／ｎ^m＝２^m-1π^mΣＢ2k／（２ｋ）！・Ｂm+1-2k／（ｍ＋１−２ｋ）！

したがって，

　　ζ（ｍ）＝Σｃｏｔｈ（πｎ）／ｎ^m−２Σ１／ｎ^m｛ｅｘｐ（２ｎπ）−１）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝