■n次元平行多面体数(その105)

2次元では(3,2)=3次元まで

3次元では(4,2)=6次元まで

4次元では(5,2)=10次元まで

5次元では(6,2)=15次元まで

 しかし,これでは4次元正24胞体や正16胞体が4次元空間を充填することを説明できない.

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 ここまで,点心ベクトル,辺心ベクトル,面心ベクトルなどを個々に扱ったが,そうではなく,ボロノイベクトルの数を扱うべきで,それが2^n−1を超えれば,即ち,平行面の組が2^n−1,面数が全体で2(2^n−1)を超えればというのが結晶と準結晶を分ける境界となっているのである.

 また,この数がn次元立方体のボロノイベクトル数なのであるが,(n+1,2)次元立方体というのは二義的なものであって,あくまでも2(2^n−1)が一義なのである.

 すなわち,平行な辺の組数が(n+1,2)ではなく,face to faceの空間充填を問題にするならば平行面の数が2(2^n−1)がクリティカルポイントと考えるべきであろう.

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