■ピラミッドの傾斜角(その4)

 (その3)において,底辺の長さを2a,等辺の長さをbとする.

 三角形の3辺の長さをa,b,c,面積を△,外接球,内接球の半径をR,rとすれば,

  abc=4R△,(a+b+c)r=2△

さらに,

  s1=a+b+c,s2=ab+bc+ca,s3=abc

とおくこともである.

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 r=1,b=cのとき,

  2ab^2=4R△,(2a+2b)=2△

  s1=2a+2b,s2=4ab+b^2,s3=2ab^2

  2ab^2=2R(2a+2b)

  2a/sinA=2R

  sinA=2sinA/2cosA/2=2a{b^2−a^2}^1/2/b^2

  2ab^2=2a(2a+2b)/sinA=b^2(2a+2b)/{b^2−a^2}^1/2

  a=(a+b)/{b^2−a^2}^1/2

  a^2(b^2−a^2)=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

  (a^2−1)b^2−2ab−a^4−a^2=0

  a^2(a^2−b^2)+(a+b)^2=0

  a^2(a−b)+(a+b)=0

  b(a^2−1)=a(a^2+1)

ここで,bを最小化するaを求めてもいいが,

  1/2・2ah=1/2・(2a+2b)

  b=a(h−1)

  a=b/(h−1)

をb^2=a^2+h^2に代入して整理すれば,

  b^2=b^2/(h−1)^2+h^2

  b^2{1−1/(h−1)^2}=h^2

  b^2{1−1/(h−1)^2}=h^2

  b^2=h(h−1)^2/(h−2)

となって,b^2を最小化するhを求める問題となる.

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