（その１）では立方体に内接する最大の正八面体，（その２）では立方体に内接する最大の正十二面体の問題を取り上げたが，今回のコラムではそれを木工製作手順に焼き直してみたいと思う．

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【１】正十二面体の切削角度の計算

　木工製作のためには切削角度を計算しなければならないが，その際，すべての頂点の座標を求める必要はなく，点心図の中心に配置した頂点の座標（ｃ，ｃ，ｃ）だけで十分である．

　頂点間距離の関係より

　　２（３ｃ^2）^1/2＝２（１＋ｄ^2）^1/2

　　ｃ^2＝（１＋ｄ^2）／３，ｃ＝１／φ＝0.618034

切削を開始する辺の中点は

　　（（ａ＋ｂ）／２，（ａ＋ｂ）／２，Ｌ）

であるから（ｃ，ｃ，ｃ），（Ｌ，Ｌ，Ｌ）の関係より切削角は１７．３５８３°と４６．０７６７°と計算される．

　また，もとの立方体の１辺の長さを２とすると，もとの立方体表面に残る１本の稜の長さは

　　２ｄ／Ｌ＝.788567

切削を開始する辺の端点と中点は

　　（ａ／Ｌ，ｂ／Ｌ，１）＝（.0977826，-.459818,1）

　　（（ａ＋ｂ）／２Ｌ，（ａ＋ｂ）／２Ｌ，１）＝（-.181018，-.181018，1）

正方形面の中心からこの辺までの距離は

　　｜（ａ＋ｂ）／√２Ｌ｜＝.255998

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【２】正八面体の切削角度の計算

　立方体の頂点からでる３本の辺を３：１に内分する３点をとります．その頂点の対蹠頂点からでる３本の辺を３：１に内分する３点をとり，この６点を選べば立方体に内接する最大の正八面体が得られます．

　この正八面体の２面は立方体の切頂面になるのですが，切頂の深さは切頂八面体の場合と同じ３：１内分点で，その切削角度は

　　ｔａｎθ＝√２　　　→　θ＝５４．７３５７°（切頂面）

　　ｔａｎθ＝√２／５　→　θ＝１５．７９３２°（隣接面）

となります．

　以下に，中川宏さんが同じ立方体から切り出した正八面体の体積比較（約３倍）とその木工製作過程を掲げます．最初に切頂の足場作りのために４５°切稜してから，切削角度５４．７３５７°で切頂面を削り，引き続いて切頂面と隣り合う薄い切頂切稜面を切削角度１５．７９３２°で削り取ります．

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