■2乗和が等しい数列(その17)

 1^0+13^0+28^0+70^0+82^0+124^0+139^0+151^0

=4^0+7^0+34^0+61^0+91^0+118^0+145^0+148^0  (等式)

 1^1+13^1+28^1+70^1+82^1+124^1+139^1+151^1

=4^1+7^1+34^1+61^1+91^1+118^1+145^1+148^1  (等式)

 1^2+13^2+28^2+70^2+82^2+124^2+139^2+151^2

=4^2+7^2+34^2+61^2+91^2+118^2+145^2+148^2  (等式)

 1^3+13^3+28^3+70^3+82^3+124^3+139^3+151^3

=4^3+7^3+34^3+61^3+91^3+118^3+145^3+148^3  (等式)

 1^4+13^4+28^4+70^4+82^4+124^4+139^4+151^4

=4^4+7^4+34^4+61^4+91^4+118^4+145^4+148^4  (等式)

 1^5+13^5+28^5+70^5+82^5+124^5+139^5+151^5

=4^5+7^5+34^5+61^5+91^5+118^5+145^5+148^5  (等式)

 1^6+13^6+28^6+70^6+82^6+124^6+139^6+151^6

=4^6+7^6+34^6+61^6+91^6+118^6+145^6+148^6  (等式)

 1^7+13^7+28^7+70^7+82^7+124^7+139^7+151^7

=4^7+7^7+34^7+61^7+91^7+118^7+145^7+148^7  (等式)

 1^8+13^8+28^8+70^8+82^8+124^8+139^8+151^8

≠4^8+7^8+34^8+61^8+91^8+118^8+145^8+148^8  (非等式)

 それにしても驚異的な例である.これも2乗和が等しい数列と同様に,2倍の長さに拡張できるのだろうか?

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 1^0+13^0+28^0+70^0+82^0+124^0+139^0+151^0

=4^0+7^0+34^0+61^0+91^0+118^0+145^0+148^0  

{an}={1,13,28,70,82,124,139,151}

{bn}={4,7,34,61,91,118,145,148}

 −は奇数,+は偶数になるが,

{an}={−,0,0,−,+,0,0,+,+,0,0,+,−,0,0,−}

{bn}={0,+,−,0,0,+,−,0,0,−,+,0,0,−,+,0}

{an},{bn}にはそれぞれ4つの偶数,4つの奇数が属している.

 したがって,8乗和も等しくするためには

  {a1,a2,・・・,ar}

  {b1,b2,・・・,br}

において,

  ar+1=2r+b1,・・・,a2r=2r+br

  br+1=2r+a1,・・・,b2r=2r+ar

2r=152.ただし,ai=0,bi=0のとき,r=0とする.

 すなわち

{an}={1,13,28,70,82,124,139,151}+{156,159,186,213,243,270,297,300}

{bn}={4,7,34,61,91,118,145,148}+{153,165,180,222,234,276,291,303}

とすればよい.

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