【１】クンマーの定理

　フェルマー方程式ｘ^p＋ｙ^p＝ｚ^pが非自明解をもつためには，

　　Ｂk＝０　　　（ｍｏｄ　ｐ）･･･Cauchy-Genocci判定基準

　　０＜ｋ＜１／２（ｐ−３），Ｂ1＝０，・・・，Ｂp-3＝０

　正則素数ｐはＢp-3までのベルヌーイ数Ｂkの分子を割り切ることのできない素数として定義されていて，クンマーの定理によって正則素数であるすべてのｎに対してフェルマー予想が成立すること，たとえば，１００以下の非正則素数は３７，５９，６７ですべてですから，この３つの数以外では１００までのｎに対してフェルマー予想が正しいことが証明されたことになります．非正則素数は無限に多く存在し，６９１も非正則素数のひとつです．そして，クンマーの定理を精密化したもの（詳しく正確にいったもの）は岩澤理論と呼ばれています．

　また，ｘ以下の非正則素数の数をＩ（ｘ）と記すと

　　Ｉ（ｘ）／π（ｘ）〜1-exp(-1/2)＝0.39346･･･

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【２】吾郷・ジュウカ予想

　ｐが素数であれば，そのときに限って

　　ｐＢp-1＋１の分子＝０　　（ｍｏｄｐ）

　これと同等な予想として，ｐが素数であれば，そのときに限って

　　１^p-1＋２^p-1＋３^p-1＋・・・＋（ｐ−１）^p-1＋１

はｐで割り切れる．

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【３】おまけ

　カタラン予想は，ワイルスがフェルマー予想を証明したときのほどの興奮はなく解かれました．

　なお，１９７５年，エルデスとセルフリッジは連続する整数の積は整数のベキでないこと，すなわち

　　ｙ^q＝ｘ（ｘ＋１）・・・（ｘ＋ｐ−１）

はすべてが＞１である整数解（ｘ，ｙ，ｐ，ｑ）をもたないことを証明しています．

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