１０を原始根とする素数，たとえば，

　　７，１７，１９，２３，２９，４７，５９，６１，９７，・・・

の密度について，アルティンは

　　π10（ｘ）〜Ｃｘ／（ｌｏｇｘ）

と予想しています．

　ただし，ｐを素数として，Ｃは

　　Ｃ＝Π（１−１／ｐ（ｐ−１））＝０．３７３９５・・・（アルティンの定数）

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【１】アルティンの原始根予想

　ａ≠１０の場合でも

　　πa（ｘ）／π（ｘ）〜Ｃｘ／（ｌｏｇｘ）

すなわち，ａを原始根にもつ素数は無限個存在するという予想は，一般化されたリーマン予想を仮定すれば成立することがわかっています（Hooley,1967）．また，アルティンの原始根予想の関数体版はすでに証明されています．

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【２】グリム予想

　連続した合成数の集合の各要素に対して，それを割り切るようなそれぞれ異なる素数を与えることができる．

　たとえば｛３２，３３，３４，３５，３６｝に対しては，

　　　　　［２，１１，１７，５，３］を割り振ることができる．

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