（その４）ではウォルステンホルムの定理を紹介したが，今回コラムではその拡張版とヴィーフェリッヒの定理を紹介することにしたい．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【１】ウォルステンホルムの定理（１８６２年）
「ｐが２，３以外の素数ならば有限調和級数
１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１）
の分子はｐ^2で割り切れる」
（Ｑ）ｐ＞３が素数ならば
１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１）
の分子はｐ^2で割り切れることを証明せよ（１８６２年）．
（Ａ）１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１）を通分すれば，分母は（ｐ−１）！である．ウィルソンの定理より
（ｐ−１）！＝−１ （ｍｏｄ ｐ）
であるから分母はｐで割り切れない．したがって，
Ｓ＝（ｐ−１）！（１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１））
がｐ^2で割り切れることを証明すればよいことになる．
Ｓは１，２，・・・ｐ−１からｐ−２個とったあらゆる組合せの積の和である．そこで
Ｆ＝（ｘ−１）（ｘ−２）・・・（ｘ−ｐ＋１）
＝ｘ^p-1−Ａ1ｘ^p-2＋・・・−Ａp-2ｘ＋Ａp-1
と書けば，根と係数の関係より
Ａp-1＝（ｐ−１）！
Ａp-2＝（ｐ−１）！（１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１））
ｘ＝ｐとおけば
（ｐ−１）！＝ｐ^p-1−Ａ1ｘ^p-2＋・・・−Ａp-2ｐ＋Ａp-1
ｐ^p-2−Ａ1ｐ^p-3＋・・・＋Ａp-3ｐ−Ａp-2＝０
Ｓ＝Ａp-2であるから，ここでｐ｜Ａ1，ｐ｜Ａ2，・・・，ｐ｜Ａp-2がいえれば，ｐ＞３のときｐ^2｜Ａp-2．２項係数pＣkを(p,k)と書くことにすると，
ｐ｜(p,k) (k:1~p-1)
であるから，Ａ1〜Ａp-1を２項係数で表すことができればｐ｜Ａ1，ｐ｜Ａ2，・・・，ｐ｜Ａp-2がいえたことになる．
ｘＦ＝ｘ（ｘ−１）（ｘ−２）・・・（ｘ−ｐ＋１）
＝ｘ^p−Ａ1ｘ^p-1＋・・・−Ａp-2ｘ^2＋Ａp-1ｘ
ｘをｘ−１で置き換えれば
（ｘ−１）^p−Ａ1（ｘ−１）^p-1＋・・・−Ａp-2（ｘ−１）^2＋Ａp-1（ｘ−１）
＝（ｘ−１）（ｘ−２）・・・（ｘ−ｐ＋１）（ｘ−ｐ）
＝（ｘ−ｐ）（ｘ^p−Ａ1ｘ^p-1＋・・・−Ａp-2ｘ^2＋Ａp-1）
ここでｘ^kの係数を比べると
Ａ1＝(p,2)，
２Ａ2＝(p,3)+(p-1,2)Ａ1，
３Ａ3＝(p,4)+(p-1,3)Ａ1+(p-2,2)Ａ2，
（ｐ−１）Ａp-1＝１＋Ａ1＋Ａ2＋・・・＋Ａp-2
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【２】ウォルステンホルムの定理の拡張
（Ｑ）ｐ＞３が素数ならば
Ｓ＝（（ｐ−１）！）^2（１＋１／２^2＋１／３^2＋・・・＋１／（ｐ−１）^2）
がｐで割り切れることを証明せよ．
ｐが２，３以外の素数ならば有限調和級数
１＋１／２^2＋１／３^2＋・・・＋１／（ｐ−１）^2
の分子はｐで割り切れる，したがってｐが素数のときに限り分子はｐで割り切れるというものです．
（Ａ）
１＋１／２^2＋１／３^2＋・・・＋１／（ｐ−１）^2
の分子は
（Ａp-2）^2−２（ｐ−１）！Ａp-3
であり，ｐで割り切れる．
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
同様に
「ｐが素数でｐ＞５であるときに限り，
１＋１／２^3＋１／３^3＋・・・＋１／（ｐ−１）^3
の分子はｐ^2で割り切れる」
「ｐが素数でｐ＞７であるときに限り，
１＋１／２^4＋１／３^4＋・・・＋１／（ｐ−１）^4
の分子はｐで割り切れる」
１８１９年，バベッジは
（２ｐ−１，ｐ−１）＝１ （ｍｏｄ ｐ^2）
に気づきましたが，１８６２年，ウォルステンホルムは
（２ｐ−１，ｐ−１）＝１ （ｍｏｄ ｐ^3）
を証明したことになります．
１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１）
の分子をウォルステンホルム数と呼びますが，もし，
（２ｐ−１，ｐ−１）＝１ （ｍｏｄ ｐ^4）
が成り立つとき，ｐをウォルステンホルム素数と呼びます．ウォルステンホルム素数はいまのことろ１６８４３と２１２４６７９は発見されているだけだそうです．
なお，
１＋１／２^2＋１／３^2＋・・・＋１／（ｎ−１）^2
の分子であるウォルステンホルム数の因数分解の結果は三島久典氏のＨＰ
http://www.asahi-net.or.jp/-KC2H-MSM/mathland/matha1/jindex.htm
に掲載されているそうです．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【３】ヴィーフェリッヒの定理（１９０９年）
「フェルマー方程式ｘ^p＋ｙ^p＝ｚ^pが非自明解をもつためには，ｐはヴィーフェリッヒ素数であることが必要である」
（２^(p-1)−１）／ｐ＝０ （ｍｏｄ ｐ）･･･Wieferich判定基準
すなわち，２^(p-1)−１はｐ^2で割り切れるというものです．フェルマーの小定理より（２^(p-1)−１）／ｐは整数となりますが，非常に稀にこの整数がｐの倍数になることがあり，そのときｐをヴィーフェリッヒ素数といます．
ヴィーフェリッヒ素数はｐ＝１０９３，３５１１が知られています．２つのヴィーフェリッヒ素数−１を２進数に変換すると
１０９２＝１０００１０００１００
３５１０＝１１０１１０１１０１１０
のように奇妙なパターンがみられるのだそうです．
なお，１９１０年，ミリマノフは
「フェルマー方程式ｘ^p＋ｙ^p＝ｚ^pが非自明解をもつためには，ｐはミリマノフ素数であることが必要である」をつけ加えています．
（３^(p-1)−１）／ｐ＝０ （ｍｏｄ ｐ）
すなわち，３^(p-1)−１はｐ^2で割り切れるというものですが，（３^(p-1)−１）／ｐが整数となるｐとしてｐ＝１１，１００６００３が知られています．また，５^(p-1)−１がｐ^2で割り切れるｐとしてはｐ＝１８８７４８１４６８０１が知られています．
２０００年，ミハイレスクは
「カタラン方程式ｘ^p−ｙ^q＝１が非自明解をもつためには（ｐ，ｑ）がヴィーフェリッヒ対でなければならない」
すなわち，３^2−２^3＝１以外の解が存在するならば，ｐ，ｑはどちらもヴィーフェリッヒ素数の２倍，したがって，ｐ^(q-1)をｑ^2で割ると余りが１，ｑ^(p-1)をｐ^2で割ると余りが１にならなければならないことを証明しました．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【補】クンマーの定理
フェルマー方程式ｘ^p＋ｙ^p＝ｚ^pが非自明解をもつためには，
Ｂk＝０ （ｍｏｄ ｐ）･･･Cauchy-Genocci判定基準
０＜ｋ＜１／２（ｐ−３），Ｂ1＝０，・・・，Ｂp-3＝０
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝