（その８）を補足．

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【１】正単体の高さ

　三角形の面積は底辺かける高さ割る２であるが，三角錐になると底面積かける高さ割る３，四次元の三角錐なら底体積かける高さ割る４，五次元なら底四次元面積かける高さ割る５・・・．

　正単体の体積を求めるにあたって問題となるのは，その高さである．高さを求めるために，ｎ次元正単体の頂点の座標を

　　（１，０，・・・，０）

　　（０，１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・

　　（０，０，・・・，１）

　　（ｘ，ｘ，・・・，ｘ）

とする．稜の長さが√２の正単体であるから，

　　ｘ＝｛１−√（１＋ｎ）｝／ｎ

とすることができる．

　これらの座標が与えられたとき，底面

　　（１，０，・・・，０）

　　（０，１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・

　　（０，０，・・・，１）

の重心は

　　（１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ）

であるから，頂点

　　（ｘ，ｘ，・・・，ｘ）

との距離（高さ）Ｈnは，

　　Ｈn＝√（１＋１／ｎ）

で与えられることになる．

　したがって，漸化式

　　Ｖn＝Ｖn-1×Ｈn／ｎ

より，

　　Ｖn＝√（１＋ｎ）／ｎ！

を得ることができる．

　Ｖ2＝√３／２，Ｖ3＝１／３，・・・

となるが，Ｖ2，Ｖ3はピタゴラスの定理を使えば中高生でも簡単に確かめることができるであろう．

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【２】正単体の頂点座標

　　Ｈn＝√（１＋１／ｎ）

は，稜の長さが√２の正単体の高さであるから，１の場合に規格化すると

　　Ｈn＝√（（ｎ＋１）／２ｎ）

→ｎ＝２のとき，√３／２

→ｎ＝３のとき，√６／３となる．これより，

［１］ｎ＝１→（１／２），（−１／２）

［２］ｎ＝２→（１／２，０），（−１／２，０）を底辺とすると，頂点は（０，√３／２）

　これをｙ軸の負の方向に平行移動して，中心を原点にもってくると，

　　（１／２，−√３／６），（−１／２，−√３／６），（０，√３／３）

［３］ｎ＝３→（１／２，−√３／６，０），（−１／２，−√３／６，０），（０，√３／６，０）を底面とすると，頂点は（０，０，√６／３）

　これをｘ軸の負の方向に平行移動して，中心を原点にもってくると，

　　（１／２，−√３／６，−√６／１２），（−１／２，−√３／６，−√６／１２），（０，√３／３，−√６／１２），（０，０，√６／４）

　この操作を順次繰り返す．

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