（その１）では凸２４面体は凹６０面体にはぴったりはまりこむことを紹介しました．これより黄金比三角多面体と白銀比三角多面体には相互補完的な関係にあることはがわかりました．黄金と白銀は対比されるばかりでこれまで接点が論じられたことがなかったように思われますから，金原博昭さんのユニークなアイディアの賜物といってよいでしょう．ひょっとすると初めての発見かもしれません．

　今回のコラムでは菱形十二面体のα化（α：√２→φ）と菱形三十面体のβ化（β：φ→√２）を行い，二面角δの変化を調べてみることにします．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】二面角関数

　立方体の二面角はπ／２（ｃｏｓδ6＝０，δ6＝９０°）ですが，他の正多面体については

　　正四面体　→　ｃｏｓδ4＝１／３，δ4＝７０．５２８８°

　　正八面体　→　ｃｏｓδ8＝−１／３，δ8＝１０９．４７１°

　　正十二面体　→　ｃｏｓδ12＝（１−φ^2）／（１＋φ^2）＝−√５／５，ｔａｎδ12＝−２，δ12＝１１６．５６５°

　　正二十面体　→　ｃｏｓδ20＝（１−φ^4）／（１＋φ^4）＝−√５／３，ｓｉｎδ20＝２／３，δ20＝１３８．１９°

と計算されます．正四面体と正八面体の二面角は互いに補角をなすというわけです．

　凸２４面体の二面角関数は

　　ｔａｎδ8＝−２√２

　　ｔａｎθ＝（３／α^2−１）^1/2

として，

　　convexδ24＝δ8＋２θ

　それに対して，凹６０面体の二面角関数は

　　ｔａｎδ20＝−２／√５

　　ｔａｎθ＝（３／β^2−１）^1/2

として，

　　concaveδ60＝２π−δ20−２θ

で与えられます．

　α＝φ，β＝√２のとき

　　ｔａｎ（δ8＋２θ）＝ｔａｎ（２π−δ20＋２θ）＝２（√５−√２）／３

すなわち，二面角は１５１．２８１°となって，両者は完全に一致します．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】二面角関数のグラフ

　convexδ24（緑），concaveδ60（黄）のグラフを描いてみると，交点があることがわかります．

　この交点は

　　ａｒｃｔａｎ（−２√２）＋２ａｒｃｔａｎ（３／α^2−１）^1/2＝２π−ａｒｃｔａｎ（−２／√５）−２ａｒｃｔａｎ（３／β^2−１）^1/2

にて，α＝β＝ωとおいて

　　４ａｒｃｔａｎ（３／ω^2−１）^1/2＝２π−ａｒｃｔａｎ（−２√２）−ａｒｃｔａｎ（−２／√５）＝２π−ａｒｃｔａｎ（２（√５＋√２）／３）

より求めることができます．

　解は

　　ω＝１．５２８１１

このとき二面角は

　　ａｒｃｔａｎ（−２√２）＋２ａｒｃｔａｎ（３／ω^2−１）^1/2

　＝２π−ａｒｃｔａｎ（−２／√５）−２ａｒｃｔａｎ（３／ω^2−１）^1/2

　＝１６５．６４１°

となります．このことは対角線の長さの比がωの菱形を用いた凸２４面体，凹６０面体はぴったりはまりこむことを意味しています．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝