同じ大きさの球に内接する正１２面体と正２０面体とでは，正１２面体の方が体積Ｖも表面積Ｓも大きい．−−−そんなばかなと思われるかもしれませんが，直感に反して，正１２面体は球の６６．５％，正２０面体は球の６０．６％を占めるのです．したがって，正多面体を球に内接させたとき最も球に近い正多面体は正１２面体です．一方，外接させれば体積も表面積も正２０面体の方が球に近くなります．

　このように三次元の問題はなかなか一筋縄ではいきませんが，今回のコラムでは多面体に対する等周問題を取り上げます．

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【１】等周不等式

　任意のｎ次元の等周不等式は，

　　Ｓ^n／Ｖ^(n-1)≧ｎ^nｖn　　　（ｖnはｎ次元単位球の体積）

　　　　　　　　　＝ｎ^nπ^(n/2)/Γ(n/2+1)＝Ｃn

で表されます．

　ｎ次元等周比（Ｃn）において，とくに，ｎ＝２のときとｎ＝３のときについては，

　　Ｃ2＝４π，Ｃ3＝３６π

すなわち，

　　Ｌ^2≧４πＳ

　　Ｓ^3≧３６πＶ^2

がわかります．以下，

　　Ｃ4＝2^7π^2，Ｃ5＝8/3*5^4π^2，Ｃ6＝6^5π^3，・・・

となりますが，等周比が有理数（整数）×πの形となるのは，２次元・３次元だけのようです．

　また，凸体Ｖを囲む曲面Ｓにおいて，平均曲率は，

　　Ｈ＝１／２（１／Ｒ1＋１／Ｒ2）

で定義されます．ここで，平均曲率の積分を

　　Ｍ＝∫Ｈｄｓ

で表すと，ミンコフスキーの不等式

　　Ｓ^2−３ＶＭ≧０

　　Ｍ^2−４πＳ≧０

これから直ちに

　　Ｓ^3≧３６πＶ^2

が導かれます．

　ともあれ，３次元凸集合に対し，表面積をＳ，体積をＶとすると，

　　Ｓ^3≧３６πＶ^2

が成り立ちます．等号成立は球のときだけで，すべての立体中で球が表面積に対して最大の体積をもっています．

　多面体の等周問題は，単位球に外接する多面体では，

　　Ｖ＝Ｓ／３

となることから，

　　Ｓ^3／Ｖ^2＝９Ｓ＝２７Ｖ

が成り立ちます．したがって，与えられた面数ｎをもつ多面体に関する等周問題は，最小の体積または最小の表面積をもち，球に外接するｎ面体を定めるという問題に帰着されます．

　凸ｆ面体の表面積をＳ，体積をＶとすれば，等周不等式は，

　　Ｓ^3／Ｖ^2≧５４（ｆ−２）ｔａｎ（ωf）（４ｓｉｎ^2（ωf）−１）

　　ωf＝ｆ／（ｆ−２）・π／６　　　ｆ≧３

ただし，等号は３稜頂点多面体に対してのみ成り立つことに注意して下さい．これによって，３稜頂点多面体に対しては，正多面体（正４面体，立方体，正１２面体）が同じ面数の多面体の中でも最良となることが証明されるのです．

　一方，３角形多面体に関しては

　　Ｓ^3／Ｖ^2≧５４（ｆ−２）（３ｔａｎ^2（ωf）−１）

また，これらを包括する一般的な不等式として

　　Ｓ^3／Ｖ^2≧９ｅｓｉｎ（２π／ｐ~）（ｔａｎ^2（π／ｐ~）ｔａｎ^2（π／ｑ~）−１）であることが予想されています．

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【２】メディアル多面体

（Ｑ）等周比の点からいえば，５種の正多面体では正４面体が最も球に遠く，正２０面体が最も球に近いことになります．それでは，ｆ個の面をもつ多面体の中で等周比の最小値を与えるものは何でしょうか？

（Ａ）答えはｆ＝４，６，１２ではプラトンの正多面体，すなわち，正四面体，立方体，正十二面体が最小値をとります．しかし，ｆ＝８で等周比の最小値をあたえるものは正八面体ではありません．

　フェイェシュ・トートの「配置の問題−平面・球面・空間における−」みすず書房にはｆ＝８で等周比の最小値をあたえるものはアルキメデスの反プリズムとあったと記憶しているのですが，マイケル・ゴールドバーグの論文：

　　M. Goldberg: The isoperimetric problem for polyhedra, Tohoku Math. J. 40, 226-236(1935)

には四角形４枚，五角形４枚からなるメディアル多面体（４^4５^4）が極値を与えることが紹介されています．

　　　　　　　　　　等周比

　　正八面体　　　　１８７．０６

　　六角柱　　　　　１８７．０６

　　歪重角錐　　　　１８１．５５

　　４^4５^4　　　　１８０．２３

　　Ｓ^3／Ｖ^2≧５４（ｆ−２）ｔａｎ（ωf）（４ｓｉｎ^2（ωf）−１）＝１７７．４５

　同様にｆ＝２０も未解決のまま残っていますが，五角形１２枚，六角形８枚からなるメディアル多面体（５^12６^8）が極値を与えることが紹介されています．

　　　　　　　　　　等周比

　　正二十面体　　　１３６．４６

　　５^12６^8 　　　１３３．３１

　　Ｓ^3／Ｖ^2≧５４（ｆ−２）ｔａｎ（ωf）（４ｓｉｎ^2（ωf）−１）＝１３２．８７

　これらのことからゴールドバーグは最小値はメディアル多面体（どの面も［６−１２／ｆ］角形または［６−１２／ｆ］＋１角形）のとき達成されると予想しました．ｆ≧１２のとき，メディアル多面体の構成は５^12６^(f-12)になります．

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［補］アルキメデスの正角柱（Archimedean prism：上下の底面が正多角形で，側面がすべて正方形であるもの）に対して，アルキメデスの反角柱（Archimedean antiprism）とはアルキメデスの正角柱を少しひねって，側面をすべて正三角形にしたものです．

　また，元の立体の頂点の数と面の数を互いに入れ替えた立体を双対多面体といいます．正多面体の双対は正多面体ですが，アルキメデスの立体はアルキメデス双対で，たとえば，菱形十二面体の双対多面体は立方八面体です．また，正角柱の双対は重角錐（dipyramid），反角柱の双対はねじれ重角錐（trapezo-hedron）となります．

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