【１】マルファティの問題

（Ｑ）与えられた三角形の内部に，それぞれ２辺ずつに接し，互いに外接する３個の円を作図せよ．

・・・というのがマルファティの問題である．イタリアのマルファティが１８０３年に提唱し，約２０年後，スイスのシュタイナーが定規とコンパスによる作図に成功した．しかし，安島直円がこの問題を与えその解答を述べたのはマルファティの論文よりも約３０年前のことである．

（Ｑ）互いに外接する３個の円（半径ｒ1，ｒ2，ｒ3）がある．これらに外接する三角形に内接する円の半径ｒを求めよ．

（Ａ）ｒ＝２√ｒ1ｒ2ｒ3／｛√ｒ1＋√ｒ2＋√ｒ3−√（ｒ1＋ｒ2＋ｒ3）｝

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　マルファティは３個の円の面積の和が最大になると信じていたらしいが，今日ではどのような三角形についてもマルファティの円は最大面積を与えるものではないことが証明されている．たとえば，正三角形について計算すると，マルファティの３個の円の和よりも，内接円とそれに外接しそれぞれ２辺に接する２個の小円の和のほうわずかに大きいことが計算できる．

　ところで，３次元空間の四面体では必ずしも３面に接し互いに外接する４個の球を作ることができない．また，正四面体については互いに接する４個の球が４個の球の体積を最大にするらしい（少なくとも内接球と３個の小球の和よりも大きい）．これらは平面幾何学の問題を３次元あるいはそれ以上に拡張する困難さを示している．

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