■三角関数の積分(その7)

 素朴な疑問であるが,(その6)において,x+y=±t,x−y=±tとしたらどうなるのだろう.

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【1】x+y=tの場合

  y=√(x^2+1)

  t=x+√(x^2+1)

  t−x=√(x^2+1)

  (t−x)^2=(x^2+1)

  t^2−2xt=1

  x=(t−1/t)/2,y=(t+1/t)/2,

  dx/dt=(t^2+1)/2t^2

  ∫√(x^2+1)dx=∫(t^2+1)^2/4t^3dt

 =∫{(t+1/t^3)/4+1/2t}dt

 =(t^2−1/t^2)/8+1/2log|t|+C

 =1/2{x√(x^2+1)+log(x+√(x^2+1))}+C

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【2】x−y=tの場合

  y=√(x^2+1)

  t=x−√(x^2+1)

  t−x=−√(x^2+1)

  (t−x)^2=(x^2+1)

  t^2−2xt=1

  x=(t−1/t)/2,y=(t+1/t)/2,

となって同じ結果が得られる.

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【3】x+y=−tの場合

  y=√(x^2+1)

  −t=x+√(x^2+1)

  t+x=−√(x^2+1)

  (t+x)^2=(x^2+1)

  t^2+2xt=1

  x=−(t−1/t)/2,y=(t+1/t)/2,

  dx/dt=−(t^2+1)/2t^2

となって同じ結果が得られる.

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