■三角関数の積分(その6)

 一松先生のお話では,これまで取り上げた

[1]∫1/cosxdx

以外にも

[2]∫√(x^2+1)dx

[3]∫dx/(x^4+1)

などにも積分の幾何学的考察があるという.

===================================

【1】基本原理

 三角関数の例では単位円x^2+y^2=1という2次曲線について,P0(−1,0)をとったが,さらにもう1歩掘り下げると次の事実(基本原理)がある.

[基本原理]2次曲線Γ上に定点P0を定める.Γ上の任意の点Pに半直線P0Pを対応させ(P0自身にはそこでの接線を対応させ),P0Pが正の実軸となす傾き(偏角の正接)をtとすると,Γを表す2次式の座標(x,y)はtの有理関数として表すことができる.

===================================

【2】双曲線の場合

 双曲線y=√(x^2+1)に対してはP0を(0,1)にとれは不定積分

  ∫√(x^2+1)dx

は計算できるが,その計算はかなり複雑になる.それよりもP0が無限遠点二いったときの極限として,点Pを直線族x+y=tとの交点として表現すると以下のように簡単に計算できる.

  x=(t−1/t)/2,y=(t+1/t)/2,

  dx/dt=(t^2+1)/2t^2

  ∫√(x^2+1)dx=∫(t^2+1)^2/4t^3dt

 =∫{(t+1/t^3)/4+1/2t}dt

 =(t^2−1/t^2)/8+1/2log|t|+C

 =1/2{x√(x^2+1)+log(x+√(x^2+1))}+C

 これはなぜ,t=√(x^2+1)ではなく,t=x+√(x^2+1)と変数変換すべきか,その根拠を説明している.

===================================