三角関数の有理関数の積分はｔ＝ｔａｎ（θ／２）とおくと有理関数の積分に帰着できることはほとんどの教科書に書かれていますが，うまくｔａｎθ，ｃｏｓ^2θ，ｓｉｎ^2θだけの関数に書き表すことができる場合には，ｔａｎθ＝ｔとおくことによって三角関数の有理関数の積分計算は格段と簡単になります．この場合，ｃｏｓ^2θ＝１／（１＋ｔ^2），ｓｉｎ^2θ＝ｔ^2／（１＋ｔ^2）となりますから，ｔａｎ（θ／２）＝ｔとおいた場合に比べ，次数が約半分の有理関数になります．

　　∫(0,φ)ｄθ／ｃｏｓθ

を３通りの方法で求めてみますが，ここでは，ｔ＝ｔａｎ（θ／２）とすると・・・

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ｔａｎ（θ／２）＝ｓｉｎθ／（１＋ｃｏｓθ），

ｃｏｓθ＝（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2），

ｓｉｎθ＝２ｔ／（１＋ｔ^2），

ｔａｎθ＝２ｔ／（１−ｔ^2），

ｄθ＝２ｄｔ／（１＋ｔ^2）

　　∫(0,φ)ｄθ／ｃｏｓθ

＝∫(0,tanφ/2)ｄｔ／（１−ｔ^2）

＝∫(0,tanφ/2)｛１／（１＋ｔ）＋１／（１−ｔ）ｄｔ

＝ｌｏｇ（１＋ｔ）−ｌｏｇ（１−ｔ）

＝ｌｏｇ（１＋ｔａｎφ/2）／（１−ｔａｎφ/2）

　ｔａｎπ/4＝１より

（１＋ｔａｎφ/2）／（１−ｔａｎφ/2）

＝（ｔａｎπ/4＋ｔａｎφ/2）／（１−ｔａｎπ/4ｔａｎφ/2）

＝ｔａｎ(φ/2+π/4)

　　∫(0,φ)ｄθ／ｃｏｓθ＝ｌｏｇｔａｎ(φ/2+π/4)

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