［参］五輪教一「黄金比の眠るほこら」，日本評論社

に，チャップルの定理と関連して，不定方程式ｘ^2−ｙ^2＝２ｘｙの整数解の紹介がある．

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【１】２次曲線のパラメータ表示例

　原点を中心とする半径１の円の円周上の点を（ｘ，ｙ）とすれば，第３の変数θを媒介として，ｘ＝ｃｏｓθ，ｙ＝ｓｉｎθと表されます．θは（ｘ，ｙ）と（０，０），θ／２は（ｘ，ｙ）と（−１，０）を結ぶ直線とｘ軸とのなす角を表しています．

　さらにｔ＝ｔａｎ（θ／２）とすると

ｔａｎ（θ／２）＝ｓｉｎθ／（１＋ｃｏｓθ），

ｃｏｓθ＝（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2），

ｓｉｎθ＝２ｔ／（１＋ｔ^2）より，

ｘ＝±（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2），

ｙ＝（２ｔ）／（１＋ｔ\2）　　　（−１≦ｔ≦１）

と表すことができます．

　単位円上のすべての有理点（座標ｘ，ｙが有理数であるような点）は，ｘ＝±（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2），ｙ＝（２ｔ）／（１＋ｔ^2）とｘ＝−１，ｙ＝０です．このように，円の有理点全体は１つの変数ｔによって一意化できますが，円ばかりではなく，現在では２次曲線に１つでも有理点があると実は無限に有理点があることがわかっています．２次曲線は有理点を無限のもつか，１つももたないかのどちらかです．実際，ｔ＝ｍ／ｎを代入して展開すると，

ｘ＝±（ｍ^2−ｎ^2）／（ｍ^2＋ｎ^2），

ｙ＝２ｍｎ／（ｍ^2＋ｎ^2）

となります．したがって，ピタゴラス数（ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2：ａ，ｂ，ｃは整数）の組み合わせは，ａ＝ｍ^2−ｎ^2，ｂ＝２ｍｎ，ｃ＝ｍ^2＋ｎ^2によって，すべて導き出せることがおわかり頂けることでしょう．

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【２】チャップルの定理

　外接円と内接円の中心間の距離をｄとおくとき、Ｒ^2−２Ｒｒ＝ｄ^2が成り立っています（チャップルの定理またはオイラーの定理）．

［Ｑ］ｘ^2−２ｘｙ＝ｚ^2の整数解を求めよ．

［Ａ］ｘ^2−２ｘｙ＋ｙ^2＝ｙ^2＋ｚ^2

　　　（ｘ−ｙ）^2＝ｙ^2＋ｚ^2

［１］ｘ−ｙ＝ｍ^2＋ｎ^2，ｙ＝２ｍｎ，ｚ＝ｍ^2−ｎ^2

^　　　ｘ＝ｍ^2＋２ｍｎ＋ｎ^2，ｙ＝２ｍｎ，ｚ＝ｍ^2−ｎ^2

［２］ｘ−ｙ＝ｍ^2＋ｎ^2，ｚ＝２ｍｎ，ｙ＝ｍ^2−ｎ^2

^　　　ｘ＝２ｍ^2，ｚ＝２ｍｎ，ｙ＝ｍ^2−ｎ^2

→（ｘ，ｙ，ｚ）＝（８，３，４），（９，４，３），（１８，５，１２），（２５，１２，５），・・・

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