［Ｑ］１辺の長さｄの正三角形ＡＢＣがある．３つの辺上に１点ずつとって，できあがる全部で４つの三角形を整数三角形にせよ．

［Ａ］４つの三角形がどれも不等辺整数三角形になる（正三角形にも二等辺三角形にもならない）ようにした解の１例としては，１辺＝３８．

　　ＡＰ＝３５，ＰＢ＝３，

　　ＢＱ＝８，ＱＣ＝３０，

　　ＣＲ＝１４，ＲＡ＝２４，

　　ＰＱ＝７，ＱＲ＝２６，ＲＰ＝３１

　この問題のパラメータ解を考えてみたい．もの前にまず・・・

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［Ｑ］三角形ＡＢＣの各辺を１：λの比に順次分けた点Ｐ，Ｑ，Ｒが作る三角形ＰＱＲがもとの三角形と相似になることがあるか？　あるとすればどのような場合か？

［ヒント］与えられた三角形の各辺をλ：１，μ：１，ν：１に分ける位置に点をとって点同士を結んで作った三角形の面積は，もとの三角形の面積の

　　Ｍ＝（λμν＋１）／（λ＋１）（μ＋１）（ν＋１）

倍に等しくなる．

（証）１／（λ＋１）・μ／（μ＋１）＋１／（μ＋１）・ν／（ν＋１）＋１／（ν＋１）・λ／（λ＋１）＝１−（λμν＋１）／（λ＋１）（μ＋１）（ν＋１）

　λ＝μ＝νの場合，

　　Ｍ＝（λ^3＋１）／（λ＋１）^3

倍に等しくなる．λ＝μ＝ν＝２（ｋ＝１／３）のとき１／３．λ＝μ＝ν＝−２のとき７．

　すなわち，もとの正三角形の１辺の長さを１とすると，縮小三角形の１辺の長さは

　　√（λ^2−λ＋１）／（λ＋１）＝（λ^3＋１）／（λ＋１）^3

というわけである．

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