■正三角形の整数三角形分割(その5)

 (その4)の問題は,ヘロン三角形の問題でもある.

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【1】連続数のヘロン三角形

[Q]高さが12,底辺でない2辺の長さが13と15の三角形がある.三角形の底辺の長さを求めよ.

[Q]底辺の長さが52,底辺でない2辺の長さが51と53の三角形がある.三角形の高さを求めよ.

 (13,14,15)というヘロン三角形は,既約で,3辺の長さの公差が1の等差数列であって,元祖(3,4,5)についで興味深いものである.その次に大きいのが(51,52,53)である.

 a<b<cとしても一般性を失わない,

  a=b−1,c=b+1

また,bを底辺としたときの高さをhとすると,三角形の面積は

  S=bh/2,S^2=b^2h^2/4

 ヘロンの公式より,2s=a+b+cとすると,三角形の面積は

  S^2=s(s−a)(s−b)(s−c)

 =(2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2−a^4−b^4−c^4)/16

 =(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)/16

 =3b^2(b^2−4)/16

 これより

  4h^2=3(b^2−4)

ここで,b=2mとおくと,

  h^2=3(m^2−1)

であるから,ペル方程式h^2−3m^2=−3というペル方程式に帰着される.

 これを解くと

  (a,b,c)=(3,4,5),(13,14,15),(51,52,53),(193,194,195),(723,724,725),(2701,2702,2703),・・・が得られる.

 また,b,h,mについては漸化式

  an=4an-1−an-2

a,cについては漸化式

  an=5an-1−5an-2+an-3

Sについては漸化式

  an=14an-1−an-2

が得られる.

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