１−１／３＋１／５−１／７＋・・・＝π／４

は

　　１／４・Σ｛１／（ｎ＋１／４）−１／（ｎ＋１）｝

　−１／４・Σ｛１／（ｎ＋３／４）−１／（ｎ＋１）｝

と書くことができる．これを超幾何関数経由で求めてみる．

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　　１／４・Σ｛１／（ｎ＋１／４）−１／（ｎ＋１）｝

＝３／１６・Σ｛１／（ｎ＋１／４）（ｎ＋１）｝

これは第０項から始まるので，パラメータをずらす必要はない．

この級数の項比は

ａn+1ｘ^n+1/ａnｘ^n=(n+1/4)(n+1)/(n+5/4)(n+2)*x

ａn+1ｘ^n+1/ａnｘ^n=(n+1/4)(n+1)^2/(n+5/4)(n+2)*x/(n+1)

ですから，

3/16･Σ1/(n+1/4)(n+1)=a03F2(1/4,1,1|1)

(5/4,2 | )

また，ａ0=3/4．これより，超幾何級数であると同定されます．

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　　１／４・Σ｛１／（ｎ＋３／４）−１／（ｎ＋１）｝

＝１／１６・Σ｛１／（ｎ＋３／４）（ｎ＋１）｝

これは第０項から始まるので，パラメータをずらす必要はない．

この級数の項比は

ａn+1ｘ^n+1/ａnｘ^n=(n+3/4)(n+1)/(n+7/4)(n+2)*x

ａn+1ｘ^n+1/ａnｘ^n=(n+3/4)(n+1)^2/(n+7/4)(n+2)*x/(n+1)

ですから，

1/16･Σ1/(n+3/4)(n+1)=a03F2(3/4,1,1|1)

(7/4,2 | )

また，ａ0=1/12．これより，超幾何級数であると同定されます．

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