エンゲルの論文
ENGEL P.: Ueber Wirkungsbereichsteilungen mit kubischer Symmetrie, Zeitschr. Kristallographie, 154(1981), 199-215
を入手．
この論文には頂点数７０の空間充填３８面体（２６^1２２^1１６^1１２^1６^4５^4４^14３^12）についての記述があるが，頂点の座標は掲載されていないので自分で計算するしかない．今回のコラムでは空間充填３８面体の頂点の空間座標を計算して読者の便宜を図りたいと思う．
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【１】超平面
ａを行ベクトル，ｘを列ベクトルとして
ａ＝（ａ1，・・・，ａn）
ｘ’＝（ｘ1，・・・，ｘn）
また，実数をｃとおくと，ｎ次元ユークリッド空間の超平面は，
ａｘ’＝ｃ
で表すことができます．原点を通るときｃ＝０です．
ベクトルａを超平面の法線ベクトルと呼びます．法線ベクトルはスカラー倍を除いて一意に定まります．ａをその長さ‖ａ‖で割ったベクトルａ／‖ａ‖を考えると，これは長さ１の単位法線ベクトルとなります．
また，ａが単位法線ベクトル，すなわち，
ａ1^2＋ａ2^2＋・・・＋ａn^2＝１
が成り立つとき，ｃは原点から超平面へ引いた垂線の（符号のついた）長さとなります．
ｎ＝１なら方程式はａｘ＝ｂですから，超平面は点にほかなりません．ｎ＝２ならａｘ＋ｂｙ＝ｃとなり，超平面は直線，ｎ＝３ならａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＝ｄですから，超平面は平面を表します．３次元空間内の超平面が普通の平面だし，２次元空間内の超平面は直線ですから，ｎ次元空間の場合，ｎ−１次元の線形多様体を超平面というのです．
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【２】頂点の空間座標
(0.217,0.1468,0.015)を３８面体の中心(0,0,0)として計算した．なお，論文の表２に誤植があったので，それを訂正して計算している．
頂点 ｘ ｙ ｚ
1 .0660051 .732716 -.0315894
2 -.153279 .729064 -.489588
3 -.163125 .724052 -.505305
4 -.177267 .712487 -.523511
5 -.184 .7064 -.5316
6 -.190733 .698312 -.537687
7 -.204874 .680106 -.549252
8 -.214721 .664388 -.554264
9 -.434005 .20639 -.557916
10 -.646074 -.239532 -.558457
11 -.65837 -.290639 -.533235
12 -.659 -.2936 -.5316
13 -.662606 -.316134 -.516658
14 -.662787 -.317492 -.51568
15 -.663132 -.321077 -.512823
16 -.664088 -.368055 -.467856
17 -.664088 -.46534 -.370572
18 -.184 -.0435998 .2184
19 .296088 .545372 .64014
20 .296088 .642656 .542856
21 .295132 .687623 .495877
22 .294787 .690478 .492294
23 .294606 .69146 .490931
24 .291 .7064 .4684
25 .29037 .708036 .465437
26 .278075 .733256 .414332
27 .285279 .729064 .426388
28 .294577 .721369 .445807
29 .294606 .72134 .445869
30 .305394 .7064 .468399
31 .309267 .700313 .476489
32 .316 .684247 .490553
33 .335912 .631949 .53214
34 .338276 .624647 .537077
35 .38977 .4564 .644629
36 .41213 .37814 .69133
37 .066 -.0436 -.0316
38 -.28013 .37814 -.75453
39 -.257771 .456399 -.70783
40 -.206275 .624649 -.600276
41 -.203911 .631949 -.59534
42 -.184001 .684246 -.553753
43 -.177267 .700313 -.539689
44 -.173394 .7064 -.5316
45 -.162606 .72134 -.509068
46 -.162577 .721369 -.509007
47 -.162781 .72229 -.507749
48 -.204867 .678942 -.55036
49 -.365323 .288153 -.759325
50 -.415223 .233877 -.760732
51 -.416348 .232695 -.760725
52 -.411336 .248411 -.750879
53 -.407144 .260468 -.743675
54 -.31511 .456391 -.650498
55 -.221926 .652332 -.558457
56 -.434 .206401 -.754961
57 -.552894 -.0436009 -.650494
58 -.65736 -.293599 -.531601
59 -.65837 -.29656 -.529965
60 -.662577 -.316195 -.516629
61 -.432365 .20936 -.755971
62 -.419031 .228992 -.760177
63 -.41808 .230291 -.760387
64 -.65693 -.46534 -.37773
65 -.661725 -.375354 -.462922
66 .404972 .37814 .698488
67 .316 .4564 .7184
68 .335912 .534659 .629429
69 .295125 .688748 .494695
70 .34307 .53466 .62227
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