分割数p(n)を評価する問題は数論において研究されていて，ラマヌジャンが予想した注目すべき漸近近似式
p(n) 〜 1/4n√(3)exp(π√(2n/3))
は，１９１８年，ハーディーとラマヌジャンによって，円周法を用いて証明が与えられています．
（その２）では
exp(2√n)/exp(5)n^2≦p(n)≦exp(π√(2n/3))
したがって，十分大きなｎに対しては
exp(c1√n)≦p(n)≦exp(c2√n)
となる評価が得られたことになります．
ラマヌジャンの結果より粗いのですが，関数の増加に対するオーダーはわかります．今回のコラムではこれよりももっと粗いp(n)の上界
p(n)＜exp(3√n)
を示すことにしましょう．
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【１】分割数の漸近挙動
分割関数の母関数
f(x)=Π(1-x^n)^(-1)={(1-x)(1-x^2)･･･(1-x^n)･･･}^(-1)
=Σp(n)x^n=1+p(1)x+p(2)x^2+p(3)x^3+･･･
の対数をとると
lnf(x)=-ln(1-x)-ln(1-x^2)-ln(1-x^3)-･･･
=(x+x^2/2+x^3/3+･･･)+(x^2+x^4/2+x^6/3+･･･)+(x^3+x^6/2+x^9/3+･･･)+･･･
=(x+x^2+x^3+･･･)+(x^2+x^4+x^6+･･･)/2+(x^3+x^6+x^9+･･･)/3+･･･
=x/(1-x)+x^2/(1-x^2)/2+x^3/(1-x^3)/3+･･･
ここで，x^n/(1-x^n)<x/(1-x)/nより
lnf(x)<x/(1-x)+x/(1-x)/2^2+x/(1-x)/3^2+･･･
=x/(1-x){1+1/2^2+1/3^2+･･･}<2x/(1-x)
lnp(n)<lnf(x)-nln(x)<2x/(1-x)+n(1-x)/x
ここで，x=(n+√n)/n+3√n)とおくと，p(n)＜exp(3√n)
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【２】ディリクレによる約数関数の漸近挙動
ここでは{1+1/2^2+1/3^2+･･･}<2としましたが，
{1+1/2^2+1/3^2+･･･}=π^2/6
とすることもできるでしょう．
実は，円周法に基づく漸近公式の結果を正確に証明するだけでも，長くてこみ入った理論が必要になります．そこで漸近公式の概要だけを簡単に述べますが，σ(k)をｋの約数の和とすると，p(n)に対する漸化式
p(n)=1/nΣσ(k)p(n-k)
において，σ(k)の漸近的振る舞い
1/n^2Σσ(k)〜π^2/12
を用いると，ｎが大きい場合の分割数の漸近挙動
p(n)〜exp(π√(2n/3))/4n√3
を得ることができます．このことから，p(n)は準指数関数と考えることができます（p(n)^(1/n)→1）．
ここで，約数の総和関数σ(k)の漸近挙動
1/n^2Σσ(k)〜π^2/12
がでましたが，１８３８年，ディリクレはσ(n)の平均値が，大きいｎに対して 1/nΣσ(k)〜π^2n/12
を示しました．
1/25Σσ(k)=20.88 → ディリクレの評価はπ^2･25/12=20.56
1/50Σσ(k)=41.6 → ディリクレの評価はπ^2･50/12=41.12
1/100Σσ(k)=82.99 → ディリクレの評価はπ^2･100/12=82.25
また，約数の個数関数ｄ(k)の平均値の漸近挙動について，ディリクレは
1/nΣｄ(k)〜ln(n)-2γ+1
を示しました．
1/25Σｄ(k)=3.48 → ディリクレの評価はln(25)-2γ+1=3.37
1/50Σｄ(k)=4.14 → ディリクレの評価はln(50)-2γ+1=4.07
1/100Σｄ(k)=4.82 → ディリクレの評価はln(100)-2γ+1=4.76
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【３】オイラー関数φ(n)の漸近挙動
オイラー関数φ(n)（ｎより小さくｎの互いに素な正整数の個数関数）は多くの興味深い性質をもっています．
σ(n)＋φ(n)＝nｄ(n)
はｎが素数であるための必要十分条件です．その上界・下界は
n^(1/2)/n＜φ(n)≦n-1
で与えられますが，１８５７年，リュービルは
ζ(s-1)／ζ(s)＝Σφ(n)／ｎ^s
を示しました．
また，オイラー関数φ(n)の平均値については
1/nΣφ(k)/k（φ(n)の平均/n）〜{Σ1/n^2}^(-1)=6/π^2
1/n^2Σφ(k)〜3/π^2
のようになります．すなわち，大きいｎの値に対して，オイラー関数φ(n)の平均値は
1/nΣφ(k)〜3n/π^2
で近似されます．
位数ｎのファレイ分数の個数は
１＋Σφ(k)
ですが，大きいｎに対して，この和は３（ｎ／π）^2で近似されることになります．また，１８８３年，シルベスターは位数ｎのファレイ分数の和が
（１＋Σφ(k)）／２
であることを示しました．
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