今回のコラムでは「ルジャンドルの定理（ある有名な数論の定理）」，「無理数・代数的数・超越数（その６）」などを補足することにした．
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【１】２元２次形式による表現と１５の定理
１９９６年，コンウェイとシュニーバーガーは正定値２元２次形式
ｆ（ｘ，ｙ）＝ａｘ^2＋ｂｘｙ＋ｃｙ^2＝ｎ
が１から１５までのすべての整数を表せば，それがすべての整数を表すことを示した（１５の定理）．
もっと限定していえば
１，２，３，５，６，７，１０，１４，１５
の９つの数を表現するならば，すべての整数を表現するという定理である．
この定理はルジャンドルの４平方和定理「何種類かの４変数２次形式，たとえば，
ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｍｗ^2 （ｍ＝１，２，３，４，５，６，７）
はすべての正の整数を表現することができる」も内包していて，
１＝１^2，２＝１^2＋１^2，３＝１^2＋１^2＋１^2，５＝２^2＋１^2
６＝２^2＋１^2＋１^2，７＝２^2＋１^2＋１^2＋１^2，１０＝３^2＋１^2
１４＝３^2＋２^2＋１^2，１５＝３^2＋２^2＋１^2＋１^2
５変数２次形式，たとえば，
ａ^2＋２ｂ^2＋５ｃ^2＋５ｄ^2＋１５ｅ^2
はどの整数も表すことができる．
それに対して，普遍的な３変数２次形式は存在しない．たとえば，
ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ｘ^2＋２ｙ^2＋ｙｚ＋４ｚ^2
は１から３０までの整数をすべて表すが，３１を表すことはできない．他の３元２次形式はこんなにうまい具合にはなっておらず，３１以下の整数の中のどれかを表すことができないのである．
［補］ｎが判別式ｄのある２次形式で表現されるための必要十分条件は
ｘ^2＝ｄ （ｍｏｄ ４ｎ）
が解をもつことである．
［１］フェルマー・オイラーの定理（２平方和定理）
ｍ＝４ｋ＋３の形をした数は２つの平方数の和になりません．ｍの素因数分解におけるｐ＝４ｋ＋３の形のすべての素因数の指数が偶数であるときに限り，２つの平方数の和の形に表すことができるのです．すなわち，
「ｘ^2＋ｙ^2＝ｎと表されるための必要十分条件は，ｐ＝３ （ｍｏｄ ４）なるｎの素因数ｐが偶数ベキであることである．」
［２］３平方和の定理
「正整数ｎが３つの平方数の和として表せる←→４^m（８ｋ＋７）の形をした数ではない．」
ｎ≠４^m（８ｋ＋７）はｎが高々３個の平方数で表されるための必要十分条件です．ガウスの定理ともルジャンドルの定理とも呼ばれますが，ルジャンドルは２次形式ａｘ^2＋ｂｙ^2＋ｃｚ^2の研究を通して，より一般的な３元２次形式論としてこの結果を得ています．
［３］バシェ・ラグランジュの定理
「すべての正の整数は高々４個の整数の平方和で表される」というのが，「バシェ・ラグランジュの定理」です．驚くべきことに，任意の自然数がたった４つの平方数の和の形に表せるのです．このことを，シンボリックに書くと
ｎ＝□＋□＋□＋□
となります．□は平方数の意味です．
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【２】ウェアリングの問題
１７７０年，ウェアリングは４平方和定理を拡張して，
「任意の整数はたかだか９個の３乗数の和として，あるいは１９個の４乗数の和として表される」
ことを証明抜きで主張しました（９三乗数定理，１９四乗数定理）．これが，有名なウェアリングの問題です．
ｇ（２）＝４はラグランジュにより，ｇ（３）＝９はヴィーフェリッヒによって証明されました（１９０９年）．ウェアリングの問題は，２次形式ではなく高次形式を扱っていて，多くの数学的思考を刺激しました．そして，１９０９年，ヒルベルトによって
「どの数もｇ個のｋ乗数の和で表される」
ことが肯定的に証明されています．
ｎ＝ｘ1^k＋・・・＋ｘg^k
ヒルベルトはｇ（ｋ）の値がｋのみによって表されることを証明したのですが，それはｇ（ｋ）の存在のみを証明したのであって具体的な値を決める方法を示したものではありませんでした．
１８５９年，リューヴィルはｇ（４）≦５３を示しました．ｇ（４）＝１９ですからこの結果は実際とはかなり隔たりがあるのですが，ｇ（４）の限界を与える方法を初めて示したことになります．そのあたりからいろいろな研究がなされることになりました．そして，１９四乗数定理：
「すべての正の整数は１９個の４乗数の和で表される」
は１９８６年に証明されています．つまり，ウェアリングの問題（１８世紀）も２００年以上かかって解決されたことになります．
なお，ｇ乗数は平方数よりもずっとまばらにしか分布しませんから，以下，３７個の５乗数の和，７３個の６乗数の和，・・・と続きます．実は，ガウス記号を用いて
ｇ（ｋ）＝２^k＋［（３／２）^k］−２
の式が正しいだろうと予想されています．１≦ｋ≦１０では
ｋ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10
下界 １ ４ ９ 19 37 73 143 279 548 1079
となり，ここに示した値はすべてこの式を満たし，かなりの範囲のところまで正しいことが確認されます．
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（Ｑ）ｋを正の整数として，ｎ＝２^k［（３／２）^k］−１とするとき，ｎ＝ｘ1^k＋・・・＋ｘg^kと書かれるような最小の正の整数ｇを求めよ．
（Ａ）２^k［（３／２）^k］−１＜３^kであるから，ｎをｋ乗数の和として表すときに１^kと２^kしか使えないことがわかる．
７＝２^2＋１^2＋１^2＋１^2
２３＝２・２^3＋７・１^3
のように，ｎ＝２^k＋・・・＋２^k＋・・・とできるだけ２^kを並べ，あとは１^k＋・・・＋１^kとすればよい．
そのときの２^kの個数は［（３／２）^k］−１，２^kの個数はｎ−２^k｛［（３／２）^k］−１｝＝２^k−１であるから
ｇ＝［（３／２）^k］−１＋２^k−１＝２^k＋［（３／２）^k］−２
ｇ（ｋ）≧２^k＋［（３／２）^k］−２
の不等式を証明したのはオイラーの息子，ヨハン・アルブレヒト・オイラー（１７７２年）で，この式では等号が成立すると予想されているのです．
なお，ウェアリングの予想は１９０９年ヒルベルトによって証明されましたが，１９２９年にまったく異なった証明法（円周法）がハーディとリトルウッドにより与えられています．
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【３】ウォルステンホルムの定理
（Ｑ）ｐ＞３が素数ならば
１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１）
の分子はｐ^2で割り切れることを証明せよ（１８６２年）．
（Ａ）１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１）を通分すれば，分母は（ｐ−１）！である．ウィルソンの定理より
（ｐ−１）！＝−１ （ｍｏｄ ｐ）
であるから分母はｐで割り切れない．したがって，
Ｓ＝（ｐ−１）！（１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１））
がｐ^2で割り切れることを証明すればよいことになる．
Ｓは１，２，・・・ｐ−１からｐ−２個とったあらゆる組合せの積の和である．そこで
Ｆ＝（ｘ−１）（ｘ−２）・・・（ｘ−ｐ＋１）
＝ｘ^p-1−Ａ1ｘ^p-2＋・・・−Ａp-2ｘ＋Ａp-1
と書けば，根と係数の関係より
Ａp-1＝（ｐ−１）！
Ａp-2＝（ｐ−１）！（１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１））
ｘ＝ｐとおけば
（ｐ−１）！＝ｐ^p-1−Ａ1ｘ^p-2＋・・・−Ａp-2ｐ＋Ａp-1
ｐ^p-2−Ａ1ｐ^p-3＋・・・＋Ａp-3ｐ−Ａp-2＝０
Ｓ＝Ａp-2であるから，ここでｐ｜Ａ1，ｐ｜Ａ2，・・・，ｐ｜Ａp-2がいえれば，ｐ＞３のときｐ^2｜Ａp-2．２項係数pＣkを(p,k)と書くことにすると，
ｐ｜(p,k) (k:1~p-1)
であるから，Ａ1〜Ａp-1を２項係数で表すことができればｐ｜Ａ1，ｐ｜Ａ2，・・・，ｐ｜Ａp-2がいえたことになる．
ｘＦ＝ｘ（ｘ−１）（ｘ−２）・・・（ｘ−ｐ＋１）
＝ｘ^p−Ａ1ｘ^p-1＋・・・−Ａp-2ｘ^2＋Ａp-1ｘ
ｘをｘ−１で置き換えれば
（ｘ−１）^p−Ａ1（ｘ−１）^p-1＋・・・−Ａp-2（ｘ−１）^2＋Ａp-1（ｘ−１）
＝（ｘ−１）（ｘ−２）・・・（ｘ−ｐ＋１）（ｘ−ｐ）
＝（ｘ−ｐ）（ｘ^p−Ａ1ｘ^p-1＋・・・−Ａp-2ｘ^2＋Ａp-1）
ここでｘ^kの係数を比べると
Ａ1＝(p,2)，
２Ａ2＝(p,3)+(p-1,2)Ａ1，
３Ａ3＝(p,4)+(p-1,3)Ａ1+(p-2,2)Ａ2，
（ｐ−１）Ａp-1＝１＋Ａ1＋Ａ2＋・・・＋Ａp-2
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（Ｑ）ｐ＞３が素数ならば
Ｓ＝（（ｐ−１）！）^2（１＋１／２^2＋１／３^2＋・・・＋１／（ｐ−１）^2）
がｐで割り切れることを証明せよ．
（Ａ）
１＋１／２^2＋１／３^2＋・・・＋１／（ｐ−１）^2
の分子は
（Ａp-2）^2−２（ｐ−１）！Ａp-3
であり，ｐで割り切れる．
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