［１］置換多面体は単純多面体かつゾーン多面体（立方体の射影）である．また，ファイバー多面体（立方体の単調パス多面体）でもある．

　　頂点数（ｎ＋１）！，ファセット数２（２^n−１）

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［２］巡回多面体は単体的多面体である．

　ｎ次元コンパクト凸多面体（頂点数ｆ0）のｆjに関するモツキンの上限予想とは，多くとも頂点数ｆ0のｎ次元巡回多面体cyclic polytopeのそれであるというものである．＝ｆ0頂点のｎ多面体の中で，もっとも多い面をもつのは巡回多面体である．

　　ｆj≦（頂点数ｆ0のｎ次元巡回多面体cyclic polytopeのｆj）

　この上限予想はマクマレンによって１９７０年に証明され（マクマレンの上限定理），その後，スタンレーによって可換環論的再証明が与えられている．そこでは，ｆベクトルとｈベクトルの関係が母関数を使って大変見通しよく説明することができている．

　ファセット数は

ｎ＝２ｋのとき，ｆn-1＝ｆ0／（ｆ0−ｋ）・（ｆ0−ｋ，ｋ）

ｎ＝２ｋ＋１のとき，ｆn-1＝２（ｆ0−ｋ−１，ｋ）

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