平行移動するだけで３次元空間を埋めつくすことのできる５種類の平行多面体（フェドロフ）はよく知られている．一般に，ｎ次元空間充填では，各頂点の周りに少なくともｎ＋１個の多面体が集まる．ｎ＋１個のとき，ｎ次元平行多面体の面数は最大２（２^n−１）個となる（ミンコフスキーの定理）．したがって，３次元平行多面体の面数は最大１４面となる．

　しかし，平行移動のほかに回転や鏡映操作も許せば，さらに多くの多面体が空間充填可能となる．ちなみに現在は４≦ｆ≦３８であるすべてのｆに対し，空間充填可能な凸ｆ面体が存在することが判明している．

　酒井利訓先生（東海大学教育開発研究所）より，このことに関する文献をご教示していただいた．この論文は

　　http://www.ams.org/bull/1980-03-03/S0273-0979-1980-14827-2/S0273-0979-1980-14827-2.pdf

より入手可能である．

　この論文には空間充填１８面体のみならず，エンゲルの空間充填３８面体についての記述もある．今回のコラムでは，当該論文について紹介したい．

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【１】Foepplの１６面体（１９１４年）

　正四面体は単独では空間充填できない．また，正四面体の辺の３等分点で切頂すると切頂四面体となるが，切り取った小正四面体を各面と底面として中心から四等分するとマラルディの角が現れる．この三角錐片の二面角が１２０°である．そして，その三角錐片を切頂四面体の切頂面に載せた形は単独で空間充填し得るようになる．

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【２】Loeckenhoff and Hellnerの１８面体（１９７１年）

　Foepplの１６面体はダイヤモンド格子を下にして設計されたものであるが，この１８面体も同様であるらしい．

　私はこのシリーズで周期的４軸構造に対応するのが空間充填１８面体であることを直接的に示したが，数学者が行った方法は３次元平行多面体の分割によって，４次元平行多面体の分類を行ったり，面数の多い３次元空間充填多面体を探索するもので，私が想像していた着想とは違っているようだ．

　私は数学者とはまったく異なる方法で設計することができたのだが，下の方では繋がっているのだろうし，いろいろな考え方があるものだといまさらながら感心している．

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【３】Engelの３８面体（１９８０年）

　周期的４軸構造に対応するのが空間充填１８面体であるが，ｆ＝１８，ｎ＝４とすると

　　ｆ＝６（ｎ−１）

の関係が成り立つ．一般のｎ軸構造にもこの式が適用できるかどうかはわからないが，ｎ軸構造が解明できればｆ≧３９なる空間充填多面体が発見できるかもしれない．

　産総研の手嶋吉法先生から窺った話では，１つの軸が残りのｎ−１本の軸となす角が等しいという意味で対称性をもつのは最大６方向までで，ｎ＝１，２，３，４，６に限られるのだそうである．したがって，７軸以上に対しては対称的な空間充填多面体にはならないと考えられる．

　私は当初からエンゲルの空間充填３８面体は非対称に違いないと想像していたのだが，思った通り対称性の低い多面体で，しかもかなり細長い面が多くある．頂点数は７０である．著作権の関係で図は掲載できないが，興味のある方は自分でダウンロードしてみてほしい．図１０がエンゲルの３８面体に該当する．

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