実２次体の類数公式はログサイン和とも呼ぶべきものですが，それにしても虚２次体の類数公式とはずいぶん違ってみえます．

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［２］ｍ＞０のとき（実２次体）

　　ｈ＝−１／２ｌｏｇεΣχ(a)ｌｏｇｓｉｎ（aπ／Ｄ）

　　εを基本単数（ε＞１）とする

(1)Ｑ（√２）：ｈ＝１

Ｄ＝８，ε＝１＋√２，

χ(a) ＝（８／ａ）＝＋１　　　ａ＝１，７

　　　　　　　　　　−１　　　ａ＝３，５

ｈ＝−１／２ｌｏｇ（１＋√２）（１・ｌｏｇｓｉｎ（π／８）＋（−１）・ｌｏｇｓｉｎ（３π／８）＋（−１）・ｌｏｇｓｉｎ（５π／８）＋１・ｌｏｇｓｉｎ（７π／８））＝１

(2)Ｑ（√３）：ｈ＝１

Ｄ＝１２，ε＝２＋√３，

χ(a) ＝（１２／ａ）＝＋１　　　ａ＝１，１１

　　　　　　　　　　＝−１　　　ａ＝５，７

ｈ＝−１／２ｌｏｇ（２＋√３）（１・ｌｏｇｓｉｎ（π／１２）＋（−１）・ｌｏｇｓｉｎ（５π／１２）＋（−１）・ｌｏｇｓｉｎ（７π／１２）＋１・ｌｏｇｓｉｎ（１１π／１２））＝１

(3)Ｑ（√５）：ｈ＝１

Ｄ＝５，ε＝（１＋√５）／２，

χ(a) ＝（５／ａ）＝＋１　　　ａ＝１，４

　　　　　　　　　　−１　　　ａ＝２，３

ｈ＝−１／２ｌｏｇ（（１＋√５）／２）（１・ｌｏｇｓｉｎ（π／５）＋（−１）・ｌｏｇｓｉｎ（２π／５）＋（−１）・ｌｏｇｓｉｎ（３π／５）＋１・ｌｏｇｓｉｎ（４π／５））＝１

　　　（∵２ｃｏｓ（π／５）＝（１＋√５）／２）

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