０＜ａ＜２√（ｄ／３），−ａ／２＜ｂ＜ａ／２　　（ａ^2／４＞ｂ^2）

を満たすイデアル（ａ，ｂ＋√−ｄ）が存在して，その個数は４ｄ／３未満である．そして，イデアル類群の位数を類数と呼ぶ．

　ここでは，

　　０＜ａ＜２√（ｄ／３），−ａ／２＜ｂ＜ａ／２　　（ａ^2／４＞ｂ^2）

と使って，類数を求めてみます．

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［１］ｄ＝１，２

　　０＜ａ＜√（８／３）＜２より，１を元にもつイデアルを含む．すべての元は単項イデアルである．

［２］ｄ＝５

　　０＜ａ＜√（２０／３）＜３より，１か２を元にもつイデアルを含む．（２）＝Ｐ^2，Ｐ＝（２，１＋√−５）だから，（２）を含むイデアルは（１），Ｐ，Ｐ^2＝（２）．Ｐは単項イデアルでないのでＣＬ（Ｚ√−５）＝｛１，｜Ｐ｜｝→ｈ（Ｚ√−５）＝２

［３］ｄ＝１０

　　０＜ａ＜√（４０／３）＜４より，１か２か３を元にもつイデアルを含む．（２）＝Ｐ^2，Ｐ＝（２，１＋√−５）だから，（２）を含むイデアルは（１），Ｐ，Ｐ^2＝（２）．Ｐは単項イデアルでない．また（−１０／３）＝−１なので（３）は素イデアル．ＣＬ（Ｚ√−１０）＝｛１，｜Ｐ｜｝→ｈ（Ｚ√−１０）＝２

［４］ｄ＝１４

　　０＜ａ＜√（５６／３）＜５より，１か２か３か４を元にもつイデアルを含む．（２）＝Ｐ^2，Ｐ＝（２，√−１４）だからＰは単項イデアルでない．（３）＝ＰＰ~，Ｐ＝（３，１＋√−１４）だからＰは単項イデアルでない．（４）＝Ｐ^4，ＰＱ^2＝（２−√−１４）だから，ＣＬ（Ｚ√−１０）＝｛１，｜Ｑ｜，｜Ｑ^2｜，｜Ｑ^3｜｝→ｈ（Ｚ√−１４）＝４

　同様に

［５］ｄ＝６：ＣＬ（Ｚ√−６）＝｛１，｜Ｐ｜｝，Ｐ＝（２，√−６）→ｈ（Ｚ√−６）＝２

［６］ｄ＝１３：ＣＬ（Ｚ√−１３）＝｛１，｜Ｐ｜｝，Ｐ＝（２，１＋√−１３）→ｈ（Ｚ√−１３）＝２

［７］ｄ＝１７：ＣＬ（Ｚ√−１７）＝｛１，｜Ｑ｜，｜Ｑ^2｜，｜Ｑ^3｜｝，Ｑ＝（３，１＋√−１７）→ｈ（Ｚ√−１７）＝４

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