３角数かつ５角数かつ６角数である最小の数

　　ｎ＝ｐ（ｐ−１）／２＝（３ｑ^2−ｑ）／２＝２ｒ^2−ｒ

は，４０７５５だそうです．

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［Ｑ］５角数であり６角数であるものは無限に存在するか？

　　（３ｙ^2−ｙ）／２＝（４ｘ^2−２ｘ）／２，すなわち，

　　３（ｙ−１／６）^2−１／１２＝４（ｘ−１／４）^2−１／４

　　３（１２ｙ−２）^2−１２＝４（１２ｘ−３）^2−３６

　　１２（６ｙ−１）^2−３６（４ｘ−１）^2＝−２４

　　（６ｙ−１）^2−３（４ｘ−１）^2＝−２

をみたす自然数の組（ｘ，ｙ）が無限にあることいえばよい．

　しかし，これではＱ（√３）の単数

　自然数ａn，ｂnを（２＋√３）^n＝ａn＋ｂn√３によって定義すると，

　　ａn^2−３ｂn^2＝（ａn＋ｂn√３）（ａn−ｂn√３）

　　　　　　　　　＝（２＋√３）^n（２−√３）^n＝１

よって，ｎの値に無関係となります．・・・は使えないことになる．

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