この空間充填１８面体は重三角錐Ａと２つのねじれ重三角錐Ｂ，Ｃのintersectionとしてできている．基本的な解析ツールが出揃ったところで，今回のコラムでは４軸構造を規準としてねじれ重角錐Ｃを計量することにした．

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【１】ねじれ重角錐Ｃの計量

　円柱の中心軸ベクトルＰi＝ｔＡi＋Ｂiはそれぞれ

　　Ｐ1＝［ｔ／√３，ｔ／√３，ｔ／√３］

　　Ｐ2＝［−ｔ／√３，ｔ／√３＋ｄ／√２，ｔ／√３−ｄ／√２］

　　Ｐ3＝［ｔ／√３−ｄ／√２，−ｔ／√３，ｔ／√３＋ｄ／√２］

　　Ｐ4＝［ｔ／√３＋ｄ／√２，ｔ／√３−ｄ／√２，−ｔ／√３］

と表される．

　（その３）では接点の空間座標と平面座標を求めたが，ｔs＝−ｄ√（３／２），ｔe＝ｄ√（３／２）として，接点を挟む２端点に対応する空間座標を求めると

　　Ｐ2s＝ｄ／√２［１，０，−２］

　　Ｐ2e＝ｄ／√２［−１，２，０］

　　Ｐ3s＝ｄ／√２［−２，１，０］

　　Ｐ3e＝ｄ／√２［０，−１，２］

　　Ｐ4s＝ｄ／√２［０，−２，１］

　　Ｐ4e＝ｄ／√２［２，０，−１］

となる．

　また，ＡiとＡjの両方に直交するベクトルＢij，その大きさをｄで定めると

　　Ｂ23＝ｄ／√２［１，１，０］

　　Ｂ34＝ｄ／√２［０，１，１］

　　Ｂ42＝ｄ／√２［１，０，１］

となるが，

　　Ｂ23＝Ｐ2e−Ｐ3s

　　Ｂ34＝Ｐ3e−Ｐ4s

　　Ｂ42＝Ｐ4e−Ｐ2s

という関係があることはすでにわかっている．

　ねじれ重角錐Ｃの計量の計量のためには，Ｐ1の２端点Ｐ1s，Ｐ1eを求める必要があるのだが，２面角が１２０°であるという条件を使わずに線形結合を利用して求めてみよう．すなわち，

　　Ｐ2＝ｔＡ2＋Ｂ2

　　Ｐ2＋ｕＢ42＝ｖＰ1

より，

　　−ｔ／√３＋ｕｄ／√２＝ｖ／√３

　　ｔ／√３＋ｄ／√２＝ｖ／√３

　　ｔ／√３−ｄ／√２＋ｕｄ／√２＝ｖ／√３

　これはｔ，ｕ，ｖに関する３元１次連立方程式であって

　　（ｔ，ｕ，ｖ）＝（ｄ√（３／２）／２，２，３ｄ√（３／２）／２）

となる．したがって，

　　Ｐ1s＝［−３ｄ／２√２，−３ｄ／２√２，−３ｄ／２√２］

　　Ｐ1e＝［３ｄ／２√２，３ｄ／２√２，３ｄ／２√２］

　ここで，仮にｄ＝３０√２とおくと

　　Ｐ1e＝［４５，４５，４５］

　　Ｐ2e＝［−３０，６０，０］

　　Ｐ3e＝［０，−３０，６０］

　　Ｐ4e＝［６０，０，−３０］

となり，ねじれ重角錐Ｃの計量は４軸構造と完全に一致することがわかる．

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【２】切頂ねじれ重角錐による概空間充填

　ねじれ重三角錐Ｃは２つの正三角錐とねじれ重三角錐台に３分割して作るしかないと思われたのだが，それでもかなり複雑な形をしていることは間違いない．そこで，３回回転対称性を有する多面体であることを利用して，切頂ねじれ重角錐を作ってもらうことになった．

　以下，中川宏さんによるＰ1s，Ｐ1eの頂点を切頂したねじれ重角錐による概空間充填の写真を掲げる．

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