ザクロ，ハチの巣，石鹸の泡などのように，空間がある立体（多面体）によって分割される空間分割は，生物と無生物を問わず，自然界に広く見られる現象であるが，空間分割における多面体の面数は１４面，面の形は五角形がもっとも多いことなどが知られている．
本稿では，形態学研究の入門編として
［１］１４面体による空間分割
［２］安定な空間分割
［３］５角形面をもつ空間分割
の３つのテーマを取り上げ，その科学的根拠について述べていくことにしたい．
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【０】はじめに
構築模型の例として，雪がなぜ六角形をしているのだろうかという問題を考えてみよう．六花という異名をもつ雪では，水分子の結晶構造が六角を基本とするからこれがひとつの内因になっていることは間違いない．しかし，この六角形の基本単位を次々につけ足していったときに全体として六角形になるとは限らない．四角形にも不定形にもなり得るので他に理由を求めなければならないのだが，雪が六角形をとるという「形の物理学」の答えは完全には与えられていないのである．
この原理を初めて見知ったひとはその形の美しさにまず驚くとともに，やがてナゼ？という疑問をもつに違いない．不思議さに魅せられたならばすでに「形の物理学」の問題領域である．
多細胞からなる生体の構築の原理も然りである．多細胞からなる生体の構築が遺伝情報とはまったく別の原理に基づいてどうしてこのような形にならざるを得ないか，ある原理からどの程度理論的に誘導できるかという点に対しては，これまでほとんど手のつけようがなかった問題領域である．「形の物理学」の答えは完全には与えられていないのである．
［参］諏訪紀夫「病理形態学原論」岩波書店
はそのような問題領域に対して，独自の視点から企画された著書である．あまり知られていない一冊ではあるが，科学者の目で自然を洞察し，詩人の心をもってペンを走らせたと思われる良書であって，今日でも若い学徒たちへの入門書として極めて高い価値をもっている．
これから説明することは当該著書に負うところが大きいが，諏訪先生の研究の受け売りにならぬよう，今日的な知識で補完していることを申し添えておきたい．
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【１】空間分割と１４面体
空間分割の話にはいる前に，平面分割の幾何学的性質を調べてみよう．レンガのブロック積みを考える．３つのレンガが１点で出会うように平面を敷き詰めると，すべてのレンガは周りの６つのレンガに接することがわかる．お城の石垣でもタマネギの細胞でもこのような原則が成り立っていて，このことから平面充填図形の基本形は６角形であるといえる．６角形の１組の対辺を退化させると４角形になるが，それは６角形から２次的に派生したものと考えることができるだろう．
次に，空間分割のブロックモデルを考える．１段目を敷き詰めたあと，２段目も１段目と同じように敷き詰めるが，１段目のレンガのすべての頂点を２段目のレンガで覆うようにずらして積み重ねると，１段目のレンガの上には４つのレンガが載ることになる．３段目も同様に行うと同じ段に６，上の段に４，下の段にも４で合計１４のレンガに接することになる．このことからレンガは元々１４面体であって，それが普通のレンガの形に圧縮されたものと考えることができる．
実際の観察結果では面の数は一義的には決まらず，統計的にしか扱えないのであるが，面の数ｆはほぼ１４をピークとする分布を示すことが認められている．たとえば，植物細胞についての観察結果では全体の７４％が１２～１６面であり，５６％が１３～１５面（平均１３．９６面）という値が得られている．また，金属ガラスの構造で最も多い面の数はｆ＝１４（～３５％），ついでｆ＝１５（～２５％）とｆ＝１３（～２０％）が続く．
面の数は１４面であることはわかったが，面の形はどうなるのだろうか？ 以下，本稿ではｖ，ｅ，ｆをそれぞれ頂点，辺，面の数とする．空間充填多面体の基本形は１４面体であるとはいってもｆ＝１４という条件を満たす多面体には膨大な種類がある．しかし，幸いなことにここで考えるべき空間充填多面体はフェドロフの平行多面体に限定される．
平行多面体とは辺が平行（したがって平行四辺形面，平行六辺形面に限られる），面が平行，そして平行移動するだけで３次元空間を埋めつくすことのできる単独の多面体である．平行多面体には立方体，６角柱，菱形１２面体，長菱形１２面体，切頂８面体の５種類しかない．これら５種類の図形（フェドロフの平行多面体）は３次元格子の幾何学的分類であって，５種類の正多面体（プラトン立体）ほどよく知られていないが，少なくとも同じ程度に重要であると考えられる．
このうち１４面多面体は切頂８面体だけであるが，切頂八面体には６組の平行な辺があり，６次元立方体と相同と考えることができる．切頂８面体（ｆ＝１４，ｄ＝６）の辺を点に縮めることによって，長菱形１２面体（ｆ＝１２，ｄ＝５）→菱形１２面体（ｆ＝１２，ｄ＝４），６角柱（ｆ＝８，ｄ＝４）→立方体（ｆ＝６，ｄ＝３）ができる．すなわち，６角柱，菱形１２面体は４次元立方体，長菱形１２面体は５次元立方体，切頂８面体は６次元立方体を３次元空間に投影したものとなっていて，空間充填図形の基本形は切頂８面体と考えることができる所以である．
なお，平行移動のほかに回転や鏡映操作も許せば，さらに多くの多面体が空間充填可能となる．ちなみに現在は４≦ｆ≦３８であるすべてのｆに対し，空間充填可能な凸ｆ面体が存在することが判明している．ここでは平行多面体（周期的空間充填多面体）の例をあげたが，それらに伸縮変形やねじり変形を加えたもの，曲面をもつ空間充填多面体，準周期的空間充填多面体，非周期的空間充填多面体などが知られている．周期的とは平行対称性をもつもの，準周期的とは平行対称性がないもののうち，鏡映対称性あるいは回転対称性をもつもの，非周期的とは鏡映対称性も回転対称性ももたないものを指す用語である．
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【２】ｎ次元空間分割と２（２^n－１）胞体
オイラーの多面体定理を使うと
［１］２次元細胞の辺数の平均は≦６であり，すべての細胞が６辺以上の辺をもつことは不可能である
［２］３次元細胞の面数の平均は≦１４であり，すべての細胞が１４面以上の面をもつことは不可能である
ことが証明される．
２次元細胞の多くは６角形であり，３次元細胞の多くには１４面体であることはわかったが，４次元，５次元，・・・，ｎ次元での空間充填多面体の基本形はどうなるのだろう？ どのような形になるのかを知る人は（たとえいたとしても）非常に少ないであろう．しかし，ここに落とし穴がある．ｎ次元では２次元，３次元同様のレンガのブロック積みを考えてもうまくいかないのである．
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［１］ヒントンの単体ブロックモデル
ｎ次元空間充填ではどの頂点でも最低ｎ＋１個の多面体が出会わなければならない（ルベーグの舗石定理）．すべての頂点でｎ＋１個の多面体が出会う場合，ｎ次元ボロノイ細胞の１個の頂点の周りにｎ個のｎ－１次元面が集まることがわかる．すなわち，単体的多面体である．
このことからｎ次元空間充填ではｎ次元立方体ではなく，ｎ次元正単体をイメージしたほうがわかりやすくなる．２次元の場合は正三角形を切頂した図形が正六角形になり，３次元空間でいえば，立方体を直接切頂して切頂八面体を作るのではなく，正四面体を切稜・切頂した図形として切頂八面体を作る操作を考えれば理解しやすくなるだろう．
実際，切頂八面体は正方形面を上にして置くと立方体（あるいは正八面体）を切頂した図形にみえるが，正六角形面を上にして置くと正四面体を切稜・切頂した図形になっていることがわかる．同様に，４次元ではこの操作により頂点は切頂八面体，辺は六角柱の３０胞体となる．このように，４次元の空間充填の基本形は３０胞体となるのだが，一般にｎ次元空間の空間充填多胞体は正単体を切稜・切頂した２（２^n－１）胞体となるというのがヒントンモデルである．
ヒントンモデルを定量的に表現すると，ｎ次元空間の空間充填多胞体を正（ｎ＋１）胞体から構成する場合，頂点数はｎ＋１個，辺数はｎ（ｎ＋１）／２個，面数は（ｎ－１）ｎ（ｎ＋１）／６個，・・・．
Σ(k=0~n-1)（ｎ＋１，ｋ＋１）＝２^(n+1)－２
すなわち，構成要素数は計２（２^n－１）個であり，そしてこれが圧縮されると構成要素の数だけ（ｎ－１）次元面ができる．
［補］ヒントンは，１９世紀終わりから２０世紀初めにかけて，ケルビンと同じころのイギリスの数学者である(1853-1907)．
ヒントン（宮川雅訳）「科学的ロマンス集」国書刊行会
を読むと，モーリー，ハミルトン，ケイリーの仕事に関する純粋な数学論文も著したが，彼の主要な関心は４次元空間であり，４次元についての最初の著作「第４の次元とが何か」が発表されたのは１８８０年，ヒントンが２７才のときのことだったとある．
テッサラクト（４次元立方体）は彼の造語であり，ペンネームでもあった．お雇い外国人数学者として日本（横浜山手）に滞在していたという記録も残されている．また，ヒントンは４次元空間の１種類だけの多胞体による空間充填図形として，３次元の六角柱と切頂八面体を組み合わせた３０胞体を提案していたとのことである．
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［２］コンウェイの単体ブロックモデル
ｎ次元の空間充填図形が立方格子を基にして導出されるという考え方からすれば，ヒントンの考察は頗る意外なものであろう．ヒントンの考察「はじめに単体ありき」は答えとしてはあっているのだが，自然な発想「はじめに格子ありき」とかけ離れていて，意外すぎて（少なくとも私にとっては）心理的抵抗感が大きく，面食らうばかりである．
コンウェイは平行多面体の概念を取り入れて，立方体モデルと単体モデルの統合を図っている．ｎ次元立方体には２ｎ個の面があり，それに対して正単体の面数はｎ＋１である．２つの正単体を底面で２つ併せることによって，面数は
２（ｎ＋１）－２＝２ｎ
となるが，これは立方体の面数に等しい．すなわち，定量的には立方体モデルとヒントンモデルの折衷になっていることがわかる．
そして，コンウェイモデルでは，ヒントンモデルとは違って単体の１つの頂点だけに注目する．１つ頂点の周りにはｎ－１次元超平面がｎ個，ｎ－１次元超平面の辺（ｎ－２次元超平面）がｎ（ｎ－１）／２個，ｎ－１次元超平面の角（ｎ－３次元超平面）がｎ（ｎ－１）（ｎ－２）／６個，・・・
Σ(k=1~n)（ｎ，ｋ）＝２^n－１
で計２^n－１個．平行多面体ではこれが２つ併合されて計２（２^n－１）個の構成要素があることになる．
２次元の場合は正三角形を切頂した図形（台形）を２つ併せて正六角形になる．一般にｎ次元空間の空間充填多胞体は正（ｎ＋１）胞体を２つ併せたような２ｎ面体から得られる２（２^n－１）胞体となるというのがコンウェイモデルである．
コンウェイモデルはボロノイベクトルを使ったアイディアである．ｎ次元ボロノイ細胞の決定に関与する基底ベクトルは２^n－１個あり，したがって平行多面体の面の数は最大で２（２^n－１）個であることに由来している．くどくなるので詳細な説明は差し控えるが，ボロノイベクトルを使うと面の形を知ることもできる．
たとえば，３次元では４組（８枚）の六角形面と３組（六枚）の四角形面からなる１４面体が得られる．３次元空間を充填するとき，切頂八面体は各頂点の周りに４個ずつ集まる．１点に４個の多面体が会すると頂点や辺だけで接している多面体がなくなり，ボロノイ分割に対して安定となる．４次元では５組（１０個）の切頂八面体と１０組（２０個）の六角柱からなる３０胞体となる．これはケルビンの立体の４次元版で，各頂点の周りに５個ずつ集まることになるといった類である．
また，立方体モデルやヒントンの単体モデルはｎ－１次元の面をｎ次元の空間の中に収まっているものとしてみたモデルであるが，それに対して，コンウェイの単体モデルは単純に立方体を単体で置き換えたものではなく，その面がその内部情報からその面を離れられない生物にとって何がわかるかという内在的幾何学の例になっている．この点がコンウェイモデルの最大の特長である．局所情報から大域的な情報を引き出す幾何学の例といってもよいであろう．
コンウェイモデルの方が心理的抵抗感の少ない導入が可能と思われるが，この多胞体は安定かつ面数が最大の空間充填多胞体となる．安定という意味は次節で述べるが，ここでは「ｎ次元の舗石定理」をまとめておきたい．
［１］ｎ次元空間充填では，各頂点の周りに少なくともｎ＋１個の多面体が集まる（ルベーグ）．
［２］ｎ＋１個のとき，ボロノイ細胞の面数は最大２（２^n－１）個で，安定な空間充填となる（コンウェイ）．
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［補］ｎ次元多面体の構成要素数
ｆkをｎ次元多面体のｋ次元面の数とし，
（ｆ0，ｆ1，・・・，ｆn-2，ｆn-1）
を構成要素とするｎ次元正多胞体では，組み合わせ的方法によって，ｋ次元胞数ｆkが求められる．たとえば，正単体では
ｆk＝（ｎ＋１，ｋ＋１）
なのですが，ｋ＝ｎ－１のときｆk＝ｎ＋１であって，胞数はｎ＋１と計算される．
同様に，双対立方体では
ｆk＝２^k+1（ｎ，ｋ＋１），ｋ＝ｎ－１のとき，ｆk＝２^n
立方体では
ｆk＝２^n-k（ｎ，ｋ），ｋ＝ｎ－１のとき，ｆk＝２ｎ
となる．
もちろん，
正単体：ｆk＝（ｎ＋１，ｋ＋１）
双対立方体：ｆk＝２^k+1（ｎ，ｋ＋１）
立方体：ｆk＝２^n-k（ｎ，ｋ）
はオイラー・ポアンカレの定理：
ｆ0－ｆ1＋ｆ2－・・・＋（－１）^(n-1)ｆn-1＝１－（－１）^n
すなわち，ｎが奇数なら２，偶数なら０を満たす．この定理は正多胞体に限らず，ｎ次元凸多胞体について常に成立する．
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【３】安定な空間分割
ここではまず正多角形による平面分割の問題を掲げる．平面充填形が正三角形，正方形，正六角形の３種類に限ることは昔からよく知られているが，このうち正方形のは碁盤，正六角形のは蜂の巣などでおなじみであろう．しかし，正三角形と正方形による平面分割は頂点だけで接している多角形があるので，ボロノイ分割に対して安定とはいえない．点のわずかな動きによって，ボロノイ分割が激変してしまうからである．したがって，ボロノイ分割の意味で安定なものは六角形による平面充填だけということになる．
それでは３次元ではどうだろうか？ １点に４個の多面体が会し，１本の線の周りに３個の多面体が合するというのが空間分割の局所条件である．多数のピンポン玉を型に詰め込んでおいて，それをぎゅっとつぶすという過程を考えてみても空間は多面体によって分割される．その際にも１点に４個の多面体が会し，１本の線の周りに３個の多面体が合する．逆にいえば，１本の辺は３個の多面体に共有され，１個の頂点は４個の多面体に共有される．これは生物であろうと無生物であろうとに関わりなく，すべて構造物について例外なく通用する物理学的な過程である．
空間分割の局所条件は，１つの細胞のある方向の移動を他の３つの細胞が支持して止めるというメカニズムの表れと理解することができる．すなわち，このことは安定な力学的平衡が得られるための条件であることは直観的にも明らかであろう．そこで，平行多面体の場合について空間分割の局所条件を安定な空間分割という観点から考えてみることにしたい．
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立方体は単独で空間全体を格子状に埋めつくすことができる．このことはこれ以上説明するまでもないだろう．立方格子状配置，すなわち角砂糖の箱の封を切ったときに見えるパターンでは１頂点に集まる多面体の数は８個になり，空間分割の局所条件は満足されない．立方格子を作るような形の積み上げでは１つの細胞の格子線方向の移動は他の１つの細胞が支持して止めるので，ある方向に力を加えた場合に全体が変形する可能性をもっていて，力学的に不安定なのである．
立方体以外の単一多面体による空間分割（空間充填体）としては，菱形十二面体や切頂八面体がよく知られている．両者はしばしば対比され，どちらも単独で空間充填可能な立体図形であるが，菱形十二面体が面心立方格子のボロノイ図であるのに対して，切頂八面体は体心立方格子のボロノイ図となっている．
菱形十二面体の頂点には３価の頂点と４価の頂点の２種類ある．３価の頂点の周りには４つの立体が出会い安定であるが，４価の頂点の周りには６つの立体が出会うため不安定となる．６角柱，長菱形１２面体の場合も同様に考えることができる．
切頂八面体はすべての頂点に３つの辺が集まる単体的多面体である．そのため，切頂八面体が空間を合同な部分に分割する際，どの頂点でも４つの切頂八面体が出会うようになっていて，安定な空間充填多面体となる．すなわち，１点に４個の多面体が会してボロノイ分割に対して安定なものは切頂八面体だけなのであるが，立方体や菱形十二面体は切頂八面体の辺を点に縮めることによって得られるので，頂点や辺だけで接している多面体を生じるというわけである．
ここで１４面体が得られる理由についてもう一度考えてみると，１４面体は安定な空間分割（熱力学の第２法則？）から必然的に決定されるのであって，図形の性質というよりは容れ物（空間）の性質といってもよいであろう．
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【５】５角形面をもつ空間分割
金属ガラスの構造で最も多い面の数はｆ＝１４（～３５％），ついでｆ＝１５（～２５％）とｆ＝１３（～２０％），面の形ではｐ＝５（～４０％），次がｐ＝６（～３０％），ｐ＝４（～２０％）と続く．面の数の平均値はおよそｆ＝１３．６，面あたりの辺の数の平均値はおよそｐ＝５．１２であるという．
空間分割では面は多かれ少なかれ曲面となるのが通例であるから，多面体は面が曲面であっても辺が曲線であってもかまわないという前提をおいて考えてみよう．
分割された空間から１個の多面体を分離して考えてみると，１個の頂点に３本の辺が集まり，１辺は２個の頂点を結ぶから
２ｅ＝３ｖ
また，オイラーの多面体定理
ｖ－ｅ＋ｆ＝２
により，
ｖ＝２（ｆ－２），ｅ＝３（ｆ－２）
つまり，面の数ｆが与えられれば頂点の数ｖと辺の数ｅは一義に決まり，頂点の数は必ず偶数になることがわかる．そこで，ｆ＝１４なる多面体について調べてみると
ｖ＝２（ｆ－２）＝２４，ｅ＝３（ｆ－２）＝３６
つぎに，面が何角形になるかを求めてみると，これはもちろん１通りではないが，１本の辺は２個の面によって共有されることを考慮し，各頂点に平均してｐ角形がｑ面が会するとすると，ｐｆ＝２ｅ，ｑｖ＝２ｅより，その平均辺数ｐと平均会合面数ｑは
ｐ＝２ｅ／ｆ＝５．１４・・・
ｑ＝２ｅ／ｖ＝３
を得ることができる．
このことから，１４面体の面のかたちについては，必然的に辺数５を中心とする分布をなすことが示唆される．このことは，経験的に５角形の頻度が最も高いという観察結果に一致しているのである．
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［１］ケルビンの１４面体
空間分割のひとつの例として石鹸の泡によるものがあり，昔から物理学者の研究の対象になってきた．石鹸の泡による空間分割に結びつく物理的作用はいうまでもなく表面積を極小化しようとする力（表面張力）であるから，ここでは石鹸膜を作る素材の総量を一定なものと仮定してみよう．最小の素材の下で得られるべき利得を最大にすることは商業上重要というだけでなく，物理学分野でも合目的的な構築原理である．
等周定数（Ｓ^3／Ｖ^2）を用いて体積１のときの表面積を求めると，菱形１２面体型分割では
3√（Ｓ^3／Ｖ^2）＝3√１０８√２＝５．３４５・・・
切頂８面体型分割では
3√（Ｓ^3／Ｖ^2）＝３／４3√４（１＋√１２）＝５．３１４・・・
と後者の方が約０．５％少なくなる．
このようにして，１８８７年，英国の物理学者，ケルビン卿（ウィリアム・トムソン）は石鹸の泡による空間分割の力学的研究から切頂八面体の集合によって空間を満たすことができ，そのときの界面積は菱形十二面体で満たしたときより小さいことを発見した．
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［２］ウィリアムズの１４面体
ｆ＝１４の単一多面体による空間分割を考えると，まず，切頂八面体とその変形，すなわち８個の六角形と６個の四角形の面をもつものがあげられる（４^6６^8）．これは１８８７年にケルビンが石鹸の泡による空間分割の力学的研究から誘導したものである．然るに，ケルビンの１４面体はまったく５角形の面をもたず，理論と実際の間に大きな乖離があることになる．
ケルビンの１４面体（α１４面体）は長い間空間を隙間なく分割しうる単一の多面体で，空間分割の局所条件を満足する唯一のものであると信じられてきた．面を平面にするという条件下にはこれは今日でも通用することである．ところが，曲面の存在を許せば空間分割の局所条件を満たしながら空間を隙間なく充填しうる１４面体がもう１種類あることを１９６８年になってウィリアムズが報告している．この間，実に１世紀近い年月の隔たりがある．
この１４面体（β１４面体）は８個の五角形，４個の六角形，２個の四角形の面をもつ（４^2５^8６^4）．β１４面体はα１４面体の２つの［４，６，６］型頂点を連結した屋根状部分を９０°回転させて［５，５，５］型頂点に組み替えたものと考えることができる．幾何学的性質の単純さはα１４面体に劣るが，α１４面体はまったく５角形の面をもたないから，β１４面体のほうが空間分割のある側面をよく表していると考えることができるだろう．
また，α型でもβ型でも空間分割の局所条件を満足し，位相幾何学的な面の数は１４になる．この結論は重要である．空間分割の局所条件を満足させる多面体は１４面体であり，それ以外にこの条件を満足する単一多面体は存在しないことを明確に示すからである．たとえば，１２面体だけで空間分割の局所条件を満足させながら空間を隙間なく分割することは不可能なのである．
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［３］ウィア・フェランの極小曲面
同じ体積の泡が集まっているときに，境界面積が最小となる泡の形は何だろうかという問いに対して，ケルビンの１４面体（４^6６^8）は１００年以上もの間，最も効率よく空間を充填する多面体として最善の答であったが，本当に表面積を最小化する多面体であるのかというと否定的であって，実はこの問題はいまでも未解決問題となっている．
もし，体積が同じで形の異なる２種類の多面体を組み合わせてみたら，ケルビン問題の反例がみつかるのでは・・・．そして，１９９４年，アイルランドの物性物理学者，ウィアは合金構造をヒントにもっと面積が小さくなる解を発見した．それは同じ体積の２種類の多面体による空間充填であって，不等辺五角形の面をもつ１２面体（５角形１２枚）と１４面体（５角形１２枚と６角形２枚）が１：３の割合で並ぶものである．
もちろん，この１２面体は正十二面体ではないし１４面体もケルビンの１４面体ではない．そして，ウィアの空間充填ではウィリアムズの１４面体（４^2５^8６^4）の場合と同様に辺や面には微妙な曲がりが含まれている．また，ウィアの空間充填ではウィリアムズの１４面体よりも多くの五角形の面をもつという特徴もあげられる．
そしてこれらの多面体の表面積はケルビンの１４面体よりも０．３％小さいことが判明したのである．曲面の高精度計算がコンピュータでできるようになったことがこの新発見に繋がったのであるが，辺や面を微妙に調節することによって空間充填が可能となる．
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［４］クラスレート水和物の世界
クラスレート水和物は小さな分子を水分子が取り囲んだかご状構造体である．メタンハイドレートはその１例で，かご状構造体として安定化する．水和物の世界では，単独の空間充填多面体としてケルビンの１４面体（４^6６^8）やウィリアムズの１４面体（４^2５^8６^4），２種類以上の多面体（曲面）の組合せによる空間充填としてはウィアの１２面体・１４面体の組合せ以外にも１２面体（５^12）と１６面体（５^12６^4）の２種類の組合せ，１２面体（５^12），１２面体（４^3５^6６^3），２０面体（５^12６^8）の３種類の組合せが知られている．
これらのなかで普遍的に認められるのは後３者で，それぞれ構造体Ⅰ，Ⅱ，Ｈと呼ばれている．構造体Ⅰがウィア・フェランの極小曲面に相当するものである．ウィリアムズの１４面体型（４^2５^8６^4）は比較的最近発見されたクラスレート水和物であって，特殊な物理的環境下でしか存在しない．
このことから，等積空間充填多面体では５角形の頻度が最も高いと事実を窺い知ることができるだろう．それに対して，切頂八面体を含むケルビンの１４面体はまったく５角形面をもたない．１４面体の面のかたちについては，オイラーの多面体定理より必然的に辺数５を中心とする分布をなすことが計算されるのだが，どうして５角形の頻度が高くなるのだろうか？
理由はシンプルであると考えられる．すべての面が六角形であるような多面体は存在しない．蜂の巣状六角形タイル貼りに五角形タイルを１つ入れるとその部分が盛り上がった曲面となる．五角形タイルの数を増やしていって１２枚になったところで閉じた多面体となる．すなわち，６角形面を５角形面に変換することは平面構造からから球面構造への変換に繋がる．表面積は小さく体積は大きくというわけであるが，真空中ではともかく，水中の空間分割では丸くなることが重要な物理的要請になっていると考えられる．
このような変換によって，側面に５角形を有する効率の良い空間分割を実現しているものと想像されるのであるが，ともあれウィアの極小曲面が最も境界面積が小さな形になっているかという問題はまだ解決されていない．「同じ体積の泡が集まっているときに，境界面積が最小となる泡の形は何か？」は，泡の種類を増やせば面積をもっと減らすチャンスがあり，それで科学者たちは現在もより効率の良い空間分割法を探索し続けているのである．
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【６】平行多面体に関する新しい定理
本年６月，ロシアの数学者ポントリャーギンの生誕１００年を記念してモスクワで幾何学の国際会議が開催されたのだが，秋山仁先生が「平行多面体および正多面体の元素について」という演目で講演された内容を紹介したい．
１種類のブロックを使って，空間を隙間なく埋め尽くすにはどうすればいいだろうか？ レンガはそのひとつの答えなのであるが，どんな形のブロックなら空間を埋め尽くせるだろうか？ そのようなブロックをすべて求めよという問題ならこれは大変な難問である．
平行移動するだけで３次元空間を埋めつくすことのできる５種類の平行多面体はよく知られているが，平行移動のほかに回転や鏡映操作も許せば，さらに多くの多面体が空間充填可能となる．ちなみに現在は４≦ｆ≦３８であるすべてのｆに対し，空間充填可能な凸ｆ面体が存在することが判明している．
それではつぎのような問題を設定をしてみよう．
［Ｑ］どのように組み合わせても空間充填図形となる図形（空間充填図形製造器）は何か？
すなわち，空間充填多面体の元素は何かというものであって，数でいえば素数のようなものをみつけよという問題である．この問題は平面充填製造器問題よりもかなり難しくなり，証明可能かどうかもわからないが，かなり煩雑なものになることは想像がつく．しかし，予想に反してこれには非常に簡単な例があった．
裏返し（鏡映対称）の多面体は同一視するが，平行多面体ではたった１種類ですべての平行多面体を充填するような元素が存在する．それをσで表すことにすると立方体はσ96．以下，６角柱σ144，菱形１２面体σ192，長菱形１２面体σ384，切頂８面体σ48となる．
なお，５種類ある平行多面体の元素数は１であるが，同じく５種類ある正多面体の元素数は≦４であることが証明されている．
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ところで，球形の素材を型に詰め込んでおいて，それをぎゅっとつぶすという過程を考えてみる．結晶化の過程では，実際，このようなことが起こっていると考えられるが，その場合，最密充填から最疎被覆には球の中心点が面心立方格子から対心立方格子に移行しなければならない．その途中に単純立方格子を経由しているという説もあるが，もちろん個々の原子の振る舞いを直接確認することはできない．
このような移行はどのようにしたら可能になるのだろうか？ 連続的それとも飛躍的におこなわれるのだろうか？ 最密充填から最疎被覆への状態移行では，球の並進運動と同時に空間の連続的な回転運動が起こらなければならないが，当該の多面体σは最密充填と最疎被覆の間の相転移のメカニズムをある程度解き明かしてくれるはずである．
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［補］正四面体の展開図は正三角形，平行四辺形の２種類あり，どちらも平面充填図形である．これらは正四面体を辺に沿って切ったときの展開図である．これだけでも２種類の展開図ができるのだが，たとえば紙でできた中空の正四面体を辺に沿ってではなく，ハサミで好き勝手に切って平面に展開することを考えてみる．
このときハサミがすべての頂点を通らなければ平面に広げることはできないからその条件だけは満たさなければならないが，これにより展開図の種類は無限になる．そして，この展開図のコピーをジグソーパズルのようにくぼんだ所に出っ張ったところをピッタリはめ込み，平面を隙間もなく重なりもなく敷き詰めることができる．
正四面体は好き勝手に切っても，辺に沿って切っても平面充填図形になるのである．その意味では平面充填図形製造器といえる．正四面体に限らず，等面四面体はこのような性質をもっている．
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