一般にベクトルａk に同一の質量があるとき，この質点系の重心はベクトル（ａ1 ＋ａ2 ＋・・・＋ａn ）／ｎで表されます．三角形については，これは均質な板の重心と一致しますが，ｎ≧４では均質な板の重心と頂点のみの質点系の重心とは一致しません．それでは，四角形の薄板の重心はどこに位置するのでしょうか．

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【１】四角形の板の重心は何処？

　四角形ＡＢＣＤを対角線ＡＣで，三角形ＡＢＣと三角形ＣＤＡに分けると△ＡＢＣの重心Ｇ1 と△ＣＤＡの重心Ｇ2 を結ぶ直線上で，各々の面積を逆比に内分する点に重心Ｇがあります．対角線ＢＤで分けると△ＡＢＤの重心Ｇ3 と△ＢＣＤの重心Ｇ4 を結ぶ直線との交点が重心Ｇとなります．何とか式で表現できないかと考えて，次のような結果を得ました．

　重心Ｇの位置ベクトルをｇ，三角形ＡＢＣの面積を△ＡＢＣ，四角形ＡＢＣＤの面積を□と書くことにすると，

ｇ＝｛△ＡＢＣ（ａ＋ｂ＋ｃ）＋△ＣＤＡ（ｃ＋ｄ＋ａ）｝／３□・・・（１）

ｇ＝｛△ＡＢＤ（ａ＋ｂ＋ｄ）＋△ＢＣＤ（ｂ＋ｃ＋ｄ）｝／３□・・・（２）

（１）＋（２）を実行すれば

ｇ＝｛（２□−△ＢＣＤ）ａ＋（２□−△ＣＤＡ）ｂ＋（２□−△ＤＡＢ）ｃ＋（２□−△ＡＢＣ）ｄ｝／６□

　＝（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）／３−｛△ＢＣＤ・ａ＋△ＣＤＡ・ｂ＋△ＤＡＢ・ｃ＋△ＡＢＣ・ｄ｝／６□

問題はａ，ｂ，ｃ，ｄに対して対称的ですから，重点の式はａ，ｂ，ｃ，ｄを取り替えても変わらないものでなければなりません．ベクトルの外積を用いると△ＡＢＣは，１／２（ｂ−ａ）×（ｃ−ａ）＝１／２（ｂ×ｃ＋ｃ×ａ＋ａ×ｂ）で与えられますから，ｇの対称式が得られます．

　四角形の重心Ｇを作図によって求めるためには，４辺の中点が必要になります．あるいは，四角形の各辺の３等分点をとり，隣り合った等分点を結ぶと平行四辺形ができますが，四角形の重心Ｇはその平行四辺形の中心と一致します．四角形の重心の作図法については，黒田俊郎「コマと重心」（数学セミナー・リーディングス「新しい高校数学の展望」（日本評論社）やコクセター「幾何学入門」（明治図書）にも記述があります．なお，３本の均一な針金でできた縁だけの三角形（いわば一次元の三角形）の重心は，三角形の各辺の中点を結んだ三角形の内心に位置します．

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