■ブレットシュナイダーの公式(その11)

 きれいにまとまったと思って安心していたのであるが,どうもおかしい.

 (その9)において,

a^2+b^2>c^2+d^2のとき,d^1^2=a^2+b^2(大きい方)

a^2+b^2<c^2+d^2のとき,d^1^2=c^2+d^2(大きい方)

a^2+d^2>b^2+c^2のとき,d2^2=a^2+d^2(大きい方)

a^2+d^2<b^2+c^2のとき,d2^2=b^2+c^2(大きい方)

とはならず,

d^1^2=a^2+b^2-2abcosα

d^1^2=c^2+d^2-2cdcosγ

d^2^2=b^2+c^2-2abcosβ

d^2^2=d^2+a^2-2dacosδ

と整合性が取れないからである.

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 (その7)に間違い発見.

  2abcosα=(a^2+b^2-d1^2)

  2cdcosγ=(c^2+d^2-d1^2)

  2bccosβ=(b^2+c^2-d2^2)

  2dacosδ=(d^2+a^2-d2^2)

  4a^2b^2sin^2α=4a^2b^2-(a^2+b^2-d1^2)^2←

  4c^2d^2sin^2γ=4c^2d^2-(c^2+d^2-d1^2)^2←

  S=1/2・absinα+1/2・cdsinγ

  S^2=1/4{a^2b^2sin^2α+2abcdsinαsinγ+c^2d^2sin^2γ}

=1/4{a^2b^2(1-cos^2α)+2abcdsinαsinγ+c^2d^2(1-cos^2γ)}

cos(α+γ)=cosαcosγ-sinαsinγ

=cos(β+δ)=cos2θ=2cos^2θ-1

sinαsinγ=cosαcosγ-cos2θ

S^2=1/4{a^2b^2(1-cos^2α)+2abcd(cosαcosγ+1-2cos^2θ)+c^2d^2(1-cos^2γ)}

=1/4{-(abcosα-cdcosγ)^2+(ab+cd)^2-4abcdcos^2θ)}←

abcosα-cdcosγ=(a^2+b^2-d1^2)/2-(c^2+d^2-d1^2)/2=1/2・(a^2+b^2-c^2-d^2)

2abcdcosαcosγ=(a^2+b^2-d1^2)(c^2+d^2-d1^2)/2

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  S=1/2・bcsinβ+1/2・dasinδ

  S^2=1/4{b^2c^2sin^2β+2abcdsinβsinδ+a^2d^2sin^2δ}

=1/4{b^2c^2(1-cos^2β)+2abcdsinβsinδ+a^2d^2(1-cos^2δ)}

cos(β+δ)=cosβcosδ-sinβsinδ

=cos(α+γ)=cos2θ=2cos^2θ-1

sinβsinδ=cosβcosδ-cos2θ

S^2=1/4{b^2c^2(1-cos^2β)+2abcd(cosβcosδ+1-2cos^2θ)+a^2d^2(1-cos^2δ)}

=1/4{-(bccosβ-adcosδ)^2+(ad+bc)^2-4abcdcos^2θ)}←

bccosβ-adcosδ=(b^2+c^2-d2^2)/2-(d^2+a^2-d2^2)/2=1/2・(b^2+c^2-a^2-d^2)

2abcdcosβcosδ=(b^2+c^2-d2^2)(d^2+a^2-d2^2)/2

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